San Francisco de Macoris


viernes, 27 de febrero de 2015

LAS MATEMÁTICAS ... ESENCIA DE LA VIDA

LA IMPORTANCIA DE LAS MATEMATICAS

La importancia de las matemáticas existe porque día a día nos encontramos frente a ellas, sin ellas no podríamos hacer la mayoría de nuestra rutina, necesitamos las matemáticas constantemente, en la escuela, en la oficina, cuando vamos a preparar un platillo, etc. En las ciencias las matemáticas han tenido un mayor auge porque representan la base de todo un conjunto de conocimientos que el hombre ha ido adquiriendo.

No sé si les habrá pasado, pero resulta duro eso de ir por la calle y no tener ni idea de lo que ponen los letreros de las calles. Bueno, el de Coca Cola sí lo entendía. Cuando quería comprar algo, ponía cara de interrogante, hacía el símbolo universal del cuánto cuesta con el dedo pulgar y el índice y les pasaba un papel y una pluma para que apuntaran el precio. Una comida más que decente eran unos ciento cincuenta mil cupones ucranianos, unas cuatrocientas pesetas al cambio.

La moraleja de esta anécdota es que las personas nos damos cuenta de la importancia de las matemáticas, que aunque no sepamos muchos idiomas, hay uno universal: las matemáticas. Todo el mundo entiende los números. Con respecto a esto, hay una curiosa anécdota referida a uno de los químicos más importantes de este siglo: Josiah Willard Gibbs. 

Te contaré otra historia de la importancia de las matemáticas, Gibbs era un silencioso y retraído miembro de la comunidad universitaria de la prestigiosa universidad de Yale. Sobre él se dice que durante los treinta años que estuvo allí sólo pronunció un discurso. Cuentan que su impenitente silencio lo rompió durante una acalorada discusión de café acerca de qué disciplina, las lenguas clásicas, las lenguas modernas o la ciencia, entrenaba mejor a la mente. Gibbs, con su habitual parsimonia, se levantó y dijo: «Señores, las matemáticas son un lenguaje». Y volvió a sentarse. 
Ciertamente las matemáticas son un lenguaje. Y un lenguaje universal. Por eso los científicos son capaces de comunicarse entre sí aunque no comprendan el idioma con quien comparten su información. 

Pero lo más misterioso de todo es que las matemáticas son el único medio que tenemos para entender el mundo que nos rodea. Por eso hablamos de la importancia de las matemáticas. El lenguaje con el que se expresa la naturaleza es el de las matemáticas y quien quiera leer ese libro debe aprenderlas. 
Este mundo plantea al ser humano de hoy, nuevas condiciones y dimensiones en su formación, porque así exigen las necesidades y aprenderes: ‘Aprender a aprender’ ‘Aprender a crear’ ‘Aprender a investigar’ ‘Aprender a comunicarnos’ ‘Aprender a cooperar’ ‘Aprender a decidir’ ‘Aprender a imaginar’ ‘Aprender a cambiar’ ‘Aprender a ser autónomo’ ‘Aprender a ser flexible’ ‘Aprender a trascender’…que deben interiorizarse en la práctica docente y así lograr resultados fabulosos para el desarrollo integral del ser humano, optimizando sus potencialidades, en los ámbitos del saber, hacer y ser. ¿No creen ustedes que son suficientes razones para que desde la Enseñanza-Aprendizaje de la Matemática contribuyamos a este impostergable propósito educativo?¿por qué?.

Además de todo esto, que se refiere al mundo en que vivimos y al ser humano que necesitamos; debemos destacar la importancia de la matemática: en la vida cotidiana, es necesaria para comprender y analizar la abundante información que nos llega. Genera en la gente la capacidad de pensar en forma abstracta, encontrar analogías entre diversos fenómenos y crear el hábito de enfrentar problemas, tomar consecuentes iniciativas y establecer criterios de verdad y otorga confianza frente a muchas situaciones.
Como valor cultural, amplía el universo cultural del individuo ya que desarrolla hábitos de lectura, perfecciona habilidades investigativas y hace acopio mayor de un vocabulario en la asignatura y junto a todos estos elementos significativos aparecen las posibilidades de interpretar las situaciones históricas, vivencias emocionales que repercuten en la formación de valores y los principios morales del respeto y el agradecimiento a quienes han trabajado a favor de la humanidad.
Su rol social, el dominio del espacio y del tiempo, la organización y optimización de recursos, formas y proporciones, la capacidad de previsión y control de la incertidumbre o el manejo de la tecnología digital en la actual Sociedad del Conocimiento, donde las personas necesitan, en los distintos ámbitos profesionales, un mayor dominio de ideas y destrezas matemáticas. La toma de decisiones requiere comprender, modificar y producir mensajes de todo tipo, por ello los ciudadanos deben estar preparados para adaptarse a los continuos cambios que se generan en la sociedad.
Su relación con otras ciencias, la Matemática como ciencia está abierta a otra multitud de campos diversos del saber, la mayoría de las profesiones y los trabajos técnicos que hoy en día se ejecutan requieren de conocimientos matemáticos. Las actividades industriales, la medicina, la química, la arquitectura, la ingeniería, la robótica, las artes, la música, entre otras, la usan para expresar y desarrollar muchas ideas en forma numérica y analítica, la Matemática es considerada un medio universal, el lenguaje de la ciencia y de la técnica. Ella puede explicar y predecir situaciones en el mundo de la naturaleza, en lo económico y social…Es claro sin embargo que la Matemática ha sido también y debe seguir siendo, una ciencia en busca de la verdad, una herramienta que acude en ayuda de todas las otras ciencias y actividades del hombre, “una actividad creadora de una belleza sólo asequible a los ojos del alma”, como decía Platón.

La Matemática es el soporte oculto de los avances técnicos que están presentes en la vida cotidiana, vivimos en la sociedad del conocimiento y que cada día, requiere más de sus miembros (principalmente jóvenes y adultos) un especial esfuerzo de formación tanto para vivir en ella como para incorporarse a las tareas productivas… ¿Cómo adecuarse a las mejoras y cambios tecnológicos globales, teniendo una sociedad sin bases y sin herramientas matemáticas?

Sin conocimientos matemáticos a nivel de Educación Básica, Media Diversificada y Profesional, en la universidad no habrá investigadores, ni profesores…¿Qué pasará en nuestra sociedad de aquí a 10 años con adultos analfabetas matemáticos?

EVOLUCION DEL ESCUDO DOMINICANO

http://www.redpodercomunitario.org/EfemeridesyPatria/EscudoNacional.htm







http://www.redpodercomunitario.org/EfemeridesyPatria/EscudoNacional.htm






PRACTICA DE 4to BACHILLERATO

                            ANALISIS COMBINATORIA
1.0                         ANALISIS COMBINATORIO
1-       ¿QUE ES EL ANALISIS COMBINATORIO?
2-       ¿CUALES SON LOS ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN PROBLEMA COMBINATORIO? DEFINE CADA UNO.
3-       HABLAR SOBRE EL ORDEN Y NATURALEZA DE LOS ELEMENTOS
4-       EXPLIQUE EL TEOREMA DFUNDAMENTAL DEL ANALISIS COMBINATORIO

1.1                         VARIACIONES

1-       ¿QUE SON LAS VARIACIONES?
2-       ¿Cómo SE DENOTA UNA VARIACION?
3-       ¿CUALES SON LOS TIPOS DE VARIACIONES?
4-       DEFINE VARIACION SIN REPETICION…. Formula y  2 Ejemplos.
5-       DEFINE VARIACION CON REPETICION…..Formula y 2 Ejemplos
6-       EXPLIQUE EN QUE CONSISTE EL FACTORIAL DE UN NUMERO….. Formula y  2 Ejemplos.

1.2                            PERMUTACIONES

1-       ¿Qué ES UNA PERMUTACION DE m ELEMENTOS? Ejemplo
2-       ¿Cómo SE DENOTA UNA PERMUTACION?
3-       ¿CUALES SON LOS TIPOS DE PERMUTACIONES?
4-       DEFINE PERMUTACION CON REPETICION…… Formula y  2 Ejemplos.
5-       DEFINE PERMUTACION SIN REPETICION…… Formula y  2 Ejemplos.
6-       ¿QUE ES PERMUTACION CIRCULAR Y CICLICAS?...... Formula y  2 Ejemplos.

1.3                            COMBINACIONES

1-¿Qué ES UNA COMBINACION O COMBINACIONES? Ejemplo
2- ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN UNA COMBINACION.
3- ¿COMO SE DENOTA UNA COMBINACION?
4-PROPIEDADES DEL NÚMERO COMBINATORIO Y EJEMPLO DE CADA UNA.                    5-CUAL ES EL OTRO METODO DE RESOLVER COMBINACIONES.     Ejemplo                                   6-¿COMO SE DETERMINA NUMERO TOTAL DE COMBINACIONES DE n ELEMENTOS?  Ejemplo               
  7- CUALES SON LAS FORMA DE COMBINACIONES PARA ORDENAR LOS DISTINTOS N ELEMENTOS QUE PUEDE PRESENTAR UN CONJUNTO? DADO EL CONJUNTO K,L,M,N,O. EJEMPLO DE CADA UNA  
8-¿CUALEAS SON LOS TIPOS DE COMBINACIONES?   Formula y   2 Ejemplos.                                                                                     
 9-¿QUE SON LAS COMBINACIONES SIN REPETICION?..... Formula y 2 Ejemplos.                                                     
 10-¿QUE SON LAS COMBINACIONES CON REPETICION?..... Formula y  2 Ejemplos.  
                                                     
1.4                      BINOMIO DE NEWTON

1- ¿QUE ES LA POTENCIA NATURALES DEL BINOMIO?  Ejemplo
2- CARACTERÍSTICA DEL BINOMIO DE NEWTON
3- PROPIDADES DEL BINOMIO DE NEWTON
  4- CALCULO DE LOS TERMINO DE UNBINOMIO….. Formula y  2 Ejemplos. 


                                                                         PRACTICA PARA ENTREGAR:      10 Puntos

                                                                                     Introducción - Conclusión

sábado, 21 de febrero de 2015

1. Conceptos de combinatoria 2. Variaciones 3. Variaciones con repetición 4. Permutaciones 5. Permutaciones circulares 6. Permutaciones con repetición 7. Combinaciones 8. Combinaciones con repetición 9. Números combinatorios 10. Triángulo de Pascal o de Tartaglia 11. Binomio de Newton

Combinaciones y permutaciones

¿Qué diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:
"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
"La combinación de la cerradura es 472": ahora  importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
Si el orden no importa, es una combinación.
Si el orden  importa es una permutación.

¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"!
Con otras palabras:
Una permutación es una combinación ordenada.

Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutación... Posición"

Permutaciones

Hay dos tipos de permutaciones:
  1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
  2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

1. Permutaciones con repetición

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
nr
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden importa)

2. Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:
  • 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
  • 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
  • 1! = 1
Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.
Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...
= 16 × 15 × 14 = 3360
13 × 12 ...
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden importa)

Ejemplos:

Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
16!=16!=20,922,789,888,000= 3360
(16-3)!13!6,227,020,800
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
10!=10!=3,628,800= 90
(10-2)!8!40,320
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

Notación

En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:

Combinaciones

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
  1. Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
  2. Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

1. Combinaciones con repetición

En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.

2. Combinaciones sin repetición

Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
  • imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
  • después lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
El orden importaEl orden no importa
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
1 2 3
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden no importa)
Y se la llama "coeficiente binomial".

Notación

Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:

Ejemplo

Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
16!=16!=20,922,789,888,000= 560
3!(16-3)!3!×13!6×6,227,020,800
O lo puedes hacer así:
16×15×14=3360= 560
3×2×16

Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!"
... o mejor todavía...
¡Recuerda la fórmula!
Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:
Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.
16!=16!=16!= 560
3!(16-3)!13!(16-13)!3!×13!

Triángulo de Pascal

Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:
1    14    91    364  ...
1    15    105   455   1365  ...
1    16   120   560   1820  4368  ...

1. Combinaciones con repetición

OK, ahora vamos con este...
Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?
Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son
  • {c, c, c} (3 de chocolate)
  • {b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla)
  • {b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)
(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y  puedes repetir!)
Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar una técnica especial para que lo averigües tú mismo.
Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate!
Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres.
Ahora puedes escribirlo como  (la flecha es saltar, el círculo es tomar)
Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así:
{c, c, c} (3 de chocolate):
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla):
{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla):
OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema más simple para resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar flechas y círculos"
Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al 5º).
Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas tengan círculos.
Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con números un poco distintos. Lo podrías escribir así:
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden no importa)
Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en vez de círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sería la misma...
¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?
(5+3-1)!=7!=5040= 35
3!(5-1)!3!×4!6×24

En conclusión

¡Uau, es un montón de cosas que absorber, quizás tendrías que leerlo otra vez para entenderlo todo bien!
Pero saber cómo funcionan estas fórmulas es sólo la mitad del trabajo. Averiguar cómo se interpreta una situación real puede ser bastante complicado.
Por lo menos ahora sabes cómo se calculan las 4 variantes de "el orden sí/no importa" y "sí/no se puede repetir".En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:

1. Población

Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto.

2. Muestra

Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra.
Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos:
Orden
Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.
Repetición
La posibilidad de repetición o no de los elementos.

Factorial de un número natural

Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!.
Factorial
Factorial
E
1. Calcular las permutaciones de 6 elementos.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
2. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
m = 5     n = 5
 entran todos los elementos.
 importa el orden.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
Permutaciones
3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
 entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
 importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
permutaciones

Las permutaciones circulares son un caso particular de las permutaciones.
Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.
Permutaciones circulares
Ejemplos: 
1. Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.
PC7= (7 − 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
Permutaciones circulares


Permutaciones con repetición


    
ermutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...
n = a + b + c + ...
Son los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que :
 entran todos los elementos.
 importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Permutaciones con repetición
Ejemplos: 
Calcular las permutaciones con repetición de: permutaciones.
permutaciones
permutaciones
2. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9
 entran todos los elementos.
 importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Permutaciones con repetición
3. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?
 entran todos los elementos.
 importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Permutaciones con repetición

Combinaciones

Combinaciones



Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Combinaciones
También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
Combinaciones
Las combinaciones se denotan por variaciones
E

Combinaciones con repetición

jemplos: 
1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.
Combinaciones
Combinaciones
2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
Combinaciones

Combinaciones con repetición


Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
 se repiten los elementos.
Combinaciones con repetición
Ejemplo: 
En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
 se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
solución

Números combinatorios



El número  combinaciones  se llama también número combinatorio. Se representa por número combinatorio y se lee "m sobre n".
número condenatorio
Ejemplo: 
número combinatorio

Propiedades de los números combinatorios

1. propiedades
2.números combinatorios complementarios
Los números de este tipo se llaman complementarios.
3.propiedad
 propiedad
Ejemplo: 
Hallar el número de combinaciones de 75 elementos de orden 72.
solución

Triángulo de Pascal o de Tartaglia


El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico, del que podemos ver sus primeras líneas:
números combinatorios

Propiedades del Triángulo de Pascal o de Tartaglia

1. El número superior es un 1, la segunda fila corresponde a los números combinatorios de 1, la tercera de 2, la cuarta de 3 y así sucesivamente.
2. Todas la filas empiezan y acaban en 1.
propiedades
3. Todas las filas son simétricas.
números combinatorios complementarios
4. Cada número se obtiene sumando los dos que están situados sobre él.
Aplicando estas propiedades podemos escribir el triángulo de Pascal:
Triángulo de Pascal o de Tartaglia
El triángulo de Pascal o de Tartaglia nos será muy útil para calcular los coefecientes del binomio de Newton.



Binomio de Newton




La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.
binomio
Podemos observar que:
El número de términos es n+1.
Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.
triángulo de Tartaglia
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.
En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Ejercicios del binomio de Newton

1. binomio
binomio
binomio
2.binomio
binomio
binomio

Cálculo del término que ocupa el lugar k

k
k
Ejemplos: 
1.El término quinto del desarrollo de binomio es:
solución
2.El término cuarto del desarrollo de binomio es:
solución
3.Hallar el término octavo del desarrollo de binomio
solución