Traslación, Rotación y Simetría (Reflexión) son tres transformaciones
isométricas mediante las cuales puede hacerse coincidir una figura consigo
misma.
Traslación: Isometría en que todos los puntos se desplazan una distancia
fija hacia sus imágenes a lo largo de trayectorias paralelas.
Ejemplos:
Una persona subiendo (o bajando) por una escala mecánica.
Un ascensor panorámico.
Un automóvil desplazándose por un camino recto.
Un avión al despegar y luego al adquirir velocidad de crucero.
Rotación: Isometría en
que todos los puntos giran en un ángulo constante con respecto a un punto fijo.
El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina
ángulo de rotación.
Estas palabras significan que todos los puntos de la figura son rotadas a
través de círculos concéntricos en O
y que ellos describen los mismos arcos (en medida angular) de estos círculos.
Ejemplos de rotación
Un carrusel de niños
Las ruedas de una bicicleta.
Las aspas de un ventilador.
Los punteros de un reloj análogo.
Hélices de un avión o un helicóptero.
Algunos contextos en los que se ven o utilizan las simetrías:
En la naturaleza: Un trébol, una estrella de mar.
En Física: El movimiento circular uniforme, velocidad angular, fuerzas
centrípeta y centrífuga, la rotación planetaria.
Simetría
La idea de
simetría es inherente a la percepción humana. Por lo tanto es apropiado
recurrir a algunos naturales de simetría
y de gran belleza.
Al observar la mariposa y el escarabajo, diremos que cada uno
es simétrico, pues al trazar una línea recta en el centro de cada uno de ellos,
y si se doblara el papel por esta línea, la parte que está a la derecha de la
línea sería exactamente igual a la parte que está a la izquierda de esa misma
línea, de tal manera que esas dos partes coincidan.
|
|
|
En cada uno de los ejemplos anteriores se ve claramente que
al trazar una recta en el centro de la figura, las partes formadas son
indistinguibles en forma y tamaño, excepto por la posición que ocupan.
En base a las observaciones en los ejemplos anteriores,
resulta natural descubrir que hay una transformación que lleva la parte
izquierda de la figura a la parte derecha sin cambiar su forma ni sus
dimensiones.
Otro Ejemplo:
EJERCICIOS
1.- El se ha girado en torno
a O, quedando en la posición del . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I OA = OC
II
III AC = BD
Solo I
Solo II
Solo I y II
Sólo II y III
e) I, II y III
|
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2. El cuadrado de vértices A(1,1); B(3,1); C(3,3) y D(1,3) es trasladado de
modo que el vértice C quede en el origen. ¿Cuáles son las coordenadas de los
demás vértices?
a) A’(-2,-2); B’(0,-2) ;
D’(-2,0)
b) A’(4,4); B’(6,4) ; D’(4,6)
c) A’(-1,-1); B’(1,-1) ;
D’(-1,1)
d) A’(1/3,1/3); B’(1,1/3)
; D’(1/3,1)
e) Falta Información
3. ¿Cuál de las siguientes alternativas no corresponde a una transformación
isométrica?
a) Traslación
|
b) Simetría
|
c) Rotación
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d) Reflexión
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e) Permutación
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4. El movimiento de un ascensor panorámico es un ejemplo de:
a) Traslación
|
b) Simetría
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c) Rotación
|
d) Isometría
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e) Teselación
|
5. ¿Qué figura muestra todo los ejes de simetrías de un rectángulo?:
a)
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b)
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c)
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d)
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e) N.A.
|
6. ¿Cuál de las alternativas
representa la rotación de la figura dada?
a)
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b)
|
c)
|
d)
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e) Ninguna de las anteriores
|
7. Al trasladar el triángulo de vértices A(-1,5), B(2,0) y C(3,1), según el
vector de traslación (4,1), el vértice homólogo correspondiente a B’ es:
a) (3,6)
|
b) (2,1)
|
c) (6,0)
|
d) (6,1)
|
e) (7,2)
|
8. Una circunferencia tiene como centro el punto (3,5). Si el vector de
traslación de este punto es (-5, 1), ¿Cuál es el centro de la circunferencia
trasladada?
a) (-2,6)
|
b) (8,6)
|
c) (-2,4)
|
d) (-15,5)
|
e) (8,4)
|
9. Dado un triángulo
de vértices A = (-5,-3); B = (2,-1) y C = (1,4). ¿Cuál es el vértice de B si el
triángulo ABC se traslada 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba?
a) (-7,0) b) (4,2) c) (-3,1) d)
(3,7) e) (4,-4)
10. En la figura las coordenadas de P son (5, 6). Si P es punto medio de
AB, ¿cuáles son las coordenadas de B?
a) (6,5)
d) (5,6)
|
b) (5,4)
e) (5,9)
|
c) (5,5)
|
|
|
11. El cuadrado ABCD de la figura tiene sus
lados paralelos a los ejes coordenados. Si el lado AB mide 5 cm. ¿cuáles son
las coordenadas del vértice C?
a) (3,8)
b) (8,2)
c) (8,3)
d) (8,7)
e) (7,8)
|
|
25.
Al rotar la figura, en 270º
con respecto al punto P, se obtiene
A) B) C) D) E)
26. ¿Cómo varían las
coordenadas de un punto (X, Y)
al efectuar en un plano cartesiano, una rotación positiva de 180º con centro en el origen?
A) (X, -Y) B) (-X,
Y) C) (X,
Y) D) (-X,
-Y) E) (2X,2Y)
27. Si realizo una
traslación con un vector de traslación T(2, -1) al punto A(1, -2), en un plano cartesiano, el punto
resultante después de la traslación es:
A) (1, -3) B) (1,
1) C) (3,
-3) D) (-3,
3) E) (3,
2)
28. Si las
coordenadas de un punto inicial (X,
Y) varían a (-Y, X)
cuando se aplica una rotación (positiva) de 90º , en un plano cartesiano, con centro en el origen ¿Cuáles
serían las coordenadas del triángulo ABC
luego de aplicar una rotación de 90º (con centro en el origen) y posteriormente una traslación T(-2, 3)?
Nota: Los vértices del triángulo son: A (2, 3), B (5, 1) y C (4, 5).
A) A(-3, 2), B(-1, 5) y C(-5, 4) B)
A(0, 6), B(3, 4) y C(2, 7) C) A(-5, 5), B(-3, 8) y C(-7, 7)
D) A(-5, 5), B(3, 4) y C(2, 7) E)
Ninguna de ellas.
29. Si se rota en 270º el triángulo de vértices: A(2, 3), B(7, -2) y C(5, 8), en un plano
cartesiano, con centro en el origen y sentido anti-horario, los vértices del
triángulo resultante son :
A) A(2, 3), B(7, -2) y C(5, 8) B) A(-2, -3), B(-7, 2) y C(-5, -8) C) A(3, 2), B(-2, 7) y C(8, 5)
D) A(3, -2), B(-2, -7) y C(8, -5) E)
A(-2, 3), B(-7, -2) y C(-5, 8)
30. Si Q = (2, 5) y Q´= (-9, 2), ¿Qué vector
traslación T(X, Y), cambia Q a Q´?
A) T(11, 3) B)
T(-7, 3) C)
T(-7, -7) D)
T(-11, -3) E)
T(11, -3)
31. ¿Qué vector traslación
reemplaza a T1 (3, 2) seguido de T2 (-2, 5)?
A) T (1, 7) B)
T (7, 1) C)
T (-7, -1) D)
T (7, -1) E)
T (-1, 7)
32. ¿Qué par de vectores
traslación reemplaza, al aplicar uno después del otro, a T(6, -4)?
A) T(2, 3) y T(4, -7) B) T(1, -2) y T(5, -2) C) T(4, 5) y T(2, -9)
D) T(6, 0) y T(0, -4) E) Todas
las anteriores son verdaderas.
33. Si se rota en 180º el triángulo de vértices: A(0, 0), B(4,
3) y C(5, 0),
en un plano cartesiano, con centro en el origen y sentido anti-horario, y luego
realizo una traslación con un vector de traslación T(-2, 2) los vértices del
triángulo resultante son :
A) A(-2, 2), B(-6,-1), C(-7, 2) B) A(-2, 2), B(-1,6), C(7, -2) C) A(-2, 2), B(1,-6), C(2, 7)
D) A(2, -2),
B(-1,6), C(-2, -7) E) A(4, 2), B(-1,-6),
C(7, -2) 5
34. Si el trazo AB, ubicado en un plano
cartesiano, de extremos A(2,5) y B(-2,0) se gira positivamente,
con centro en el origen 180º,
luego se gira 90º más y
finalmente se gira otros 90º,
los extremos del trazo resultante son:
A) (5,2) y (0,-2) B) (-5,-2) y (2,0) C)
(-2,-5) y (2,0) D)
(2,-5) y (-2,0) E) (2,5) y (-2,9)
35. Si en un plano cartesiano el punto A(3,2) se traslada a B(2,4) y luego a
C(-2,-1), ¿cuál es el vector traslación que se debe
emplear para trasladar en un solo paso el punto A a la ubicación C?
A) T(-5,
-3) B)
T(5,
3) C)
T(-5,
0) D)
T(0,
-3) E)
T(-3,-5)
36. Si al punto A(3,4), ubicado en un
plano cartesiano, se le aplica una rotación de 90°
con centro en el origen, y luego una traslación T(5, -2), el punto A´ sería:
A) (1, 6) B) (6, 4) C) (11, -3) D) (1, 1) E) (11, -1)
37. ¿Cómo varían las coordenadas (X,Y) de los vértices de un triangulo ABC, en un plano cartesiano al efectuar una
rotación positiva de 360° con centro en el
origen y luego una traslación con un vector de traslación T(0, 2)?
A) (X +2 ,-Y) B) (X, Y +2) C) (Y ,Y +2) D) (X,0) E) No varían.
38. Un tablero de ajedrez está formado por
cuadrados ordenados en 8 columnas
identificadas con las letras A,
B, C, D, E, F, G, H (de izquierda a derecha) y 8 filas, identificadas con
los números 3, 4, 5, 6, 7, 8. (de abajo hacia
arriba), luego:
¿Qué
vector de traslación se debe aplicar a un caballo que parte en la posición B1
para que llegue a la casilla C3?
A) (0, 3) B) (1, 3) C) (1, 2) D) (0, 2) E) (-1, -3)
39. El triángulo que se obtiene al reflejar el triángulo ABC, ubicado en un plano cartesiano de vértices A(2,0),
B(2,7), C(5,4)
con respecto al eje Y (considerando
el eje Y como eje de
simetría) tiene vértices:
A) (0,0),
(0,7), (2,4) B) (-2,0),
(-2,7), (-5,4) C) ) (-2,0), (2,7), (5,4)
D) (2,0), (-1,4), (2,7) E) (2,0), (5,4), (7,0)
40. Si al triángulo ABC de la figura, ubicado en un
plano cartesiano de vértices A(2,2); B(2, -4) y C(6, -1) ,se le aplica una rotación de 90º, con centro en el origen, y luego una traslación T(5, -2), el vértice C sería:
A) (1, 6)
B) (6, 4)
C) (11, -3)
D) (1, 1)
E) Ninguna de ellas
41. Para que un punto A(2,5) se desplace hasta la posición A’(-4,-1), se debería aplicar
(1) Una traslación con vector T(-6,-6)
(2) Un giro positivo
con centro en el origen y ángulo de rotación de 90º
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas (1) y (2).
D) Cada una por sí sola (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional
Nota: Las actividades
complementarias, pronto serán entregadas.
José tiene 9 amigos y desea invitarlos a
cenar, pero sólo puede invitar a 6 simultáneamente. ¿Cuántos grupos distintos
de invitados puede tener?.
Queremos saber cuantos grupos distintos podemos formar independientemente del orden en que se elija los invitados.
hay 84 grupos distintos de invitados
1. Calcular el número de combinaciones de
10 elementos tomados de 4 en 4.
Principio del formulario
Ejercicios de Combinaciones
En esta serie de ejercicios
aprenderemos todo lo que hemos visto en los temas relacionados a combinaciones.
Listado de ejercicios propuestos:
¿Cuántas combinaciones se
pueden hacer entre elementos
diferentes si los agrupamos de a ?
¿Cuántas
combinaciones se pueden hacer entre elementos
diferentes si los agrupamos de a ?
¿Cuántas
combinaciones se pueden hacer entre elementos
diferentes si los agrupamos de a ?
¿Cuántas
combinaciones se pueden hacer entre elementos
diferentes si los agrupamos de a ?
¿Cuántas
combinaciones se pueden hacer entre elementos
diferentes si los agrupamos de a ?
¿Cuántas
combinaciones se pueden hacer entre elementos
diferentes si los agrupamos de a ?
¿Cuántas
combinaciones se pueden hacer entre elementos
diferentes si los agrupamos de a ?
¿Cuántas
combinaciones se pueden hacer entre elementos
diferentes si los agrupamos de a ?
¿Cuántas
combinaciones se pueden hacer entre elementos
diferentes si los agrupamos de a ?
¿Cuántas
combinaciones se pueden hacer entre elementos
diferentes si los agrupamos de a ?
Final del formulario
¿Necesitas Ayuda?
Mejor
respuesta: De permutaciones:
1a. Tienes 5 libros para acomodar en un estante de cuantas formas los puedes
acomodar:
P 5 en 5 = 5*4*3*2*1= 120
1b Si solo hay tres lugares de cuantas formas se pueden acomodar los
libros
P 5 en 3= 5*4*3= 60
2. En una carrera corren 8 caballos, si solo los 3 primeros ganan premio de
cuantas maneras se puede hacer la premiacion:
P de 8 en 3 = 8*7*6= 336 maneras
Combinaciones.
1. De un grupo de 7 personas se seleccionan 3 para un equipo , cuantos equipos
se pueden hacer:
como no hay orden son combinaciones)
C de 7 en 3= 7 * 6* 5 / 3 * 2 *1 = 210 / 6 = 35 equipos
2. Un examen consta de 10 preguntas de las cuales solo se pueden elegir 8, de
cuantas maneras se puede resolver el examen: (como no hay orden son
combinaciones)
C de 10 en 8= 10*9*8*7*6*5*4*3 / 8*7*6*5*4*3*2*1 = 1814400/ 40320 = 45
maneras
Fórmulas de ordenaciones y combinaciones
Con repetición y con orden.
Sin repetición y con orden.
Con repetición y sin orden.
Sin repetición y sin orden.
Ejemplos
Tenemos 5
elementos.
que llamaremos:
A,B,C,D,E
Entonces:
n = 5
k = 3
Si tomamos 3
elementos cada vez con orden y con repetición de 5 elementos tendremos 125
ordenaciones:
Ordenaciones con repeticion de 5 elementos tomando 3 cada vez
Ordenaciones con repeticion de 5 elementos tomando 3 cada vez
Lo calculamos con
la fórmula:
Sustituimos
n= 5 y k = 3
Si tomamos 3
elementos cada vez con orden y sin repetición de 5 elementos tendremos 60
ordenaciones:
Ordenaciones sin repeticion de 5 elementos tomando 3 cada vez
Ordenaciones sin repeticion de 5 elementos tomando 3 cada vez
Lo calculamos con
la fórmula:
Si tomamos 3
elementos cada vez sin orden y con repetición de 5 elementos tendremos 35
combinaciones:
Combinaciones sin orden y con repeticion de 5 elementos tomando 3 cada vez
Combinaciones sin orden y con repeticion de 5 elementos tomando 3 cada vez
Lo calculamos con
la fórmula:
Si tomamos 3
elementos cada vez sin orden y sin repetición de 5 elementos tendremos 10
combinaciones:
Combinaciones sin orden y sin repetición de 5 elementos tomando 3 cada vez
Combinaciones sin orden y sin repetición de 5 elementos tomando 3 cada vez
Lo calculamos con
la fórmula:
1¿Cuántos
números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
2¿De
cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
3¿De
cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa
redonda?
4Con
las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se
pueden formar?
5Con
las letras de la palabra libro,
¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
6¿Cuántos
números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares?
¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
7En el
palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y
cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de
las nueve banderas?
8¿De
cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol
teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la
portería?
9>Una
mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas
se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?
10Cuatro
libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de
química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible
ordenarlos si:
1Los
libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
2Solamente
los libros de matemáticas deben estar juntos.
11Se
ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las
bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles
pueden ordenarse?
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos:
1, 2, 3, 4, 5.?
m = 5 n = 5
Sí entran todos los elementos. De 5
dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos
el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado
nos pide que las cifras sean diferentes.
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila
de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que
sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona
no se puede repetir.
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de
una mesa redonda?
Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve
cifras se pueden formar?
m = 9 a = 3 b = 4
c = 2 a + b + c = 9
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Con las letras de la palabra libro,
¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes
tomadas de 4 en 4.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las
cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8
En el palo de señales de un barco se pueden
izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales
distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Ejercicio 8
resuelto
¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de
fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta
que la portería?
Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas
distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van
juntos?
Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7
personas, en los dos se cumple que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos
diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es
posible ordenarlos si:
Soluciones:
1Los
libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
2Solamente
los libros de matemáticas deben estar juntos.
Ejercicio 11
resuelto
Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules.
Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas
posibles pueden ordenarse?
1) ¿Cuántas cantidades de cuatro
cifras se pueden formar con los dígitos 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si no se permite la
repetición?
`360
|
2) ¿Cuántas cantidades de tres
cifras se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5 y 6 si se permite la
repetición?
64
|
3) Un entrenador de baloncesto
dispone de 12 jugadores. ¿Cuántos diferentes equipos de cinco jugadores puede
formar?
792
|
4) De una clase de 20 niñas se
escogerán 6 para ir a un paseo. ¿Cuántos posibles grupos de 6 se pueden formar?
38760
|
Ejercicios resueltos de permutaciones sin repetición y variaciones
1. Un
vendedor quiere visitar 5 ciudades (por ejemplo Albacete, Barcelona, Córdoba,
Denia y Estepona). Si no quiere repetir ciudades, ¿cuántas rutas distintas
puede elaborar si puede empezar y acabar en cualquiera de las ciudades? (tomado de un examen del curso de
acceso a la universidad en la UNED, curso 2008/09)
El vendedor puede elegir la
primera ciudad que visitará de entre las 5. Elegirá la segunda ciudad que visitará de entre las 4 restantes. Para la tercera ciudad
tiene 3 opciones. Para
la cuarta, 2. Y para la
última, 1.
Así que puede elaborar 5 · 4 · 3
· 2 · 1 = 120 rutas distintas.
Podemos utilizar también la
fórmula de las permutaciones y decir que
2.
¿Cuántos números de 3 cifras (donde la primera por la izquierda no es un cero)
existen cuando quitamos los que tienen todas sus cifras iguales? (tomado de un examen del curso de
acceso a la universidad en la UNED, curso 2007/08)
Vamos a calcular cuántos números
existen de 3 cifras, y luego restaremos la cantidad de los que tienen las 3
cifras iguales.
Podemos elegir la primera cifra
de entre 9 posibilidades
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Las siguientes dos cifras podemos elegirlas de
entre 10 posibilidades
cada una (los 10 guarismos).
Así que existen 9 · 10 · 10 =
900 números de 3 cifras.
De éstos, un total de 9 tienen
todas su cifras repetidas (111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999). Así
que la cantidad de números pedida es de 900 – 9 = 891
3. En
una carrera de maratón intervienen 3 españoles, 2 ingleses, 1 italiano, 3
alemanes, 2 franceses y 1 belga. Si un pódium consiste en 3 personas situadas
en 3 puestos distintos, ¿cuántos pódiums distintos pueden darse al acabar la
carrera? (tomado de un
examen del curso de acceso a la universidad en la UNED, curso 2006/07)
Tenemos un total de 3 + 2 + 1 +
3 + 2 + 1 = 12 corredores. El primer puesto lo puede alcanzar cualquiera de
los 12 corredores. El
segundo está al alcance de 11 corredores, y el tercero puede ser para cualquiera de
los 10 restantes.
Así que existen 12 · 11 · 10 =
1320 distintos pódiums posibles.
También podemos utilizar la
fórmula de las variaciones sin repetición
4.
¿Cuántos números de 5 cifras son divisibles por 5?
Para que un número sea divisible
por cinco debe acabar en 0 ó 5, así que:
Podemos elegir la primera cifra
de entre 9 (1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, si la primera cifra es 0 no cuenta como número de 5 cifras).
Podemos elegir la segunda cifra de entre 10 (nos vale cualquier guarismo). También podemos elegir
de entre 10 la tercera y la
cuarta cifra. La última cifra solo puede ser 0 ó 5, lo que nos da solo 2 posibilidades.
Así que existe un total de 9 ·
10 · 10 · 10 · 2 = 18000 números de 5 cifras divisibles por 5.
Recuerda
consultar los comentarios. En ellos se discuten algunos problemas interesantes
más. Uno especialmente interesante es éste de Ángel.
¡No te lo pierdas!
10.1 Fórmulas
combinatoria, variaciones, permutaciones y combinaciones
Fórmulas
combinatoria, formas de agrupar un conjunto de
elementos, variaciones, permutaciones y combinaciones con y sin repetición
Combinatoria
La Combinatoria es la parte de las Matemáticas
que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de
un conjunto, formándolas y calculando su número.
Existen distintas formas de realizar estas
agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos
los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación
de los elementos.
Fórmulas
combinatoria
Llamamos m a los
elementos disponibles y n a los elementos que tomamos por grupo.
Diferenciar
variaciones, permutaciones y combinaciones
Ejemplo
E3.- Con las cifras 1, 3, 5, 7 y 9,
¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden escribir?. ¿Cuántos números
de cinco cifras se pueden escribir?. ¿Cuántos de ellos son menores que 70.000?.
Para la primera pregunta es claro que se trata de variaciones ordinarias,
así:
La segunda cuestión no aclara si se pueden repetir o no las cifras, por lo
que habrá que suponer que si, ya que hay números de cinco cifras con las cinco
iguales, así pues:
a
|
b
|
c
|
d
|
e
|
La tercera cuestión es algo más compleja. Debemos tener claro el proceso
de formación de un número a partir de las cifras que nos dan. Es decir, un
número no es más que unas cifras repetidas en ocasiones pero que por la
posición que ocupan dentro del mismo adquieren un valor distinto. Así, como
puedes ver más abajo, el número de cinco cifras está compuesto por e unidades,
d decenas, c centenas, b millares y a decenas de millar. Por las condiciones
del problema, la posición de las decenas de millar solo la pueden ocupar las
cifras menores que 7, ya que deben ser números menores que 70.000, luego solo
disponemos de tres cifras, 1, 3 y 5. Para las otras posiciones podemos
emplearlas todas y repetidas, así pues, el total de números que habrá entre
11.111 y 59.999, será:
E4.- Con los diez soldados que componen un
pelotón, ¿Cuántas patrullas de dos soldados se pueden hacer?.
La patrulla formada por Antonio y Juan es la misma que la formada por Juan
y Antonio, y si no te lo crees pregúntales si les hace gracia hacer turnos
dobles de patrulla, luego el orden de los elementos no discrimina las distintas
agrupaciones, solo los elementos en si, y además éstos no se pueden repetir,
aún no hay clones humanos, luego se trata de combinaciones, así pues:
E5.- En una competición de natación para la
final han quedado cinco nadadores que se disputan el oro, la plata y el
bronce. ¿De cuántas formas distintas se los pueden repartir?.
Ahora el orden en que se sitúen los elementos y los elementos en sí son de
importancia para distinguir las distintas agrupaciones, salvo que los elementos
no se pueden repetir, luego se trata de variaciones ordinarias:
E6.- ¿De cuántas maneras distintas se
pueden colocar en un estante de 9 plazas tres libros rojos, dos azules y cuatro
verdes, si los libros del mismo color no se distinguen entre sí como
diferentes?.
Se trata de variaciones de nueve elementos tomados de nueve en nueve, o
sea, permutaciones de 9. Además hay elementos que se repiten, luego se trata de
permutaciones con repetición, así pues:
E7.- Con las cifras 3, 5 y 7, ¿Cuántos
números de seis cifras se pueden formar si se repite cada una de ellas dos
veces?.
Lo mismo que antes, así pues:
E8.- Calcular p para que
Se trata simplemente de aplicar el concepto de variación, desarrollar las
mismas, reducir términos y resolver la ecuación que resulte de todo ello:
E9.- De
entre los once alumnos de una clase hay que elegir cinco para hacer un
mural. ¿Cuántos grupos distintos se pueden formar?. ¿En cuántos de dichos
grupos están tres alumnos determinaos, por ejemplo Ana, Andrés y Teresa?.
De nuevo el orden para la primera cuestión no influye o no discrimina los
grupos, luego se trata de combinaciones, así:
Para la segunda cuestión debemos tener en cuenta que tres de los alumnos
siempre han de formar parte del grupo, por lo que solo nos quedan ocho alumnos
para intercambiar en los huecos que quedan libres en cada agrupación, así pues:
E10.- Calcular p si
Al igual
que en el E8.-, desarrollamos las expresiones:
E11.- ¿Cuántos números de tres cifras se
pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 sin que se repita ninguna?.
¿Cuántos terminan en 6?. ¿Cuántos terminan en 56?.
Lo mismo que el E3.-, así pues, para la primera pregunta:
Para la segunda debemos eliminar la posición de las unidades y la cifra 6,
ya que éstas no se repiten, así pues:
Para la tercera y última debemos eliminar las casillas de las unidades y de
las decenas, así como las cifras 6 y 5, nos queda:
E12.- Lo mismo que antes, pero ahora se
pueden repetir las cifras.
En este caso, y por orden, nos quedaría:
Escrito el 10 de Septiembre de 2009 en español con un tamaño de 206 KB
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También podemos calcular las
variaciones mediante factoriales:
Las variaciones se denotan
por
2. ¿Cuántos números de tres
cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?
m = 5, n = 3, m ? n
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
m = 5, n = 3, m ? n
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
3. A un concurso literario se
han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el
ganador, el finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?
m = 10, n = 3
No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3.
Sí importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista.
No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra.
m = 10, n = 3
No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3.
Sí importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista.
No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra.
Variaciones con repetición
Se llama variaciones con repetición de m elementos
tomados de n en n a los
distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ? n
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Ejemplos
1. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?
m = 5, n = 3
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
Sí se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ? n
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Ejemplos
1. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?
m = 5, n = 3
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
Sí se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
Permutaciones
Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos
m elementos de forma que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Ejemplos
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Ejemplos
1.Calcular las
permutaciones de 6 elementos.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3
· 2 · 1 = 720
2. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede
formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.
m = 5, n = 5.
Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran 5.
Sí importa el orden. Son números distintos el 12345, 24531, 54321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
m = 5, n = 5.
Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran 5.
Sí importa el orden. Son números distintos el 12345, 24531, 54321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho
personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
Permutaciones circulares
Es un caso particular de las permutaciones. Se utilizan
cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo,
los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se
sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.
Ejemplos
1. Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.
PC7= (7 ? 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
1. Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.
PC7= (7 ? 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
Permutaciones con repetición
Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se repite
a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...(m = a + b + c + ... = n)
son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que
:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Ejemplos
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Ejemplos
1.
Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números
de nueve cifras se pueden formar?
m = 9, a = 3, b = 4, c = 2, a + b + c = 9
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
2. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
m = 9, a = 3, b = 4, c = 2, a + b + c = 9
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
2. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Combinaciones
Se llama combinaciones de m elementos tomados de n
en n (m ? n) a todas
las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma
que: No entran todos
los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
También podemos calcular las combinaciones mediante
factoriales:
Las combinaciones se denotan por
Las combinaciones se denotan por
Ejemplos
1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.
2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.
2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
Combinaciones con repetición
Las combinaciones con repeticiónde m elementos tomados
de n en n (m ? n), son
los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Ejemplo:
En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? No entran todos los elementos. Sólo elije 4.. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís. Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Ejemplo:
En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? No entran todos los elementos. Sólo elije 4.. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís. Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
Ejercicios Resueltos
Ejemplo 1: Rutas de viaje
Dos caminos unen a las ciudades A y B, cuatro unen a B y C, y cinco unen a las ciudades C y D. Para conducir de A a B, luego a C y por ultimo a D, ¿Cuántas rutas diferentes son posibles? Este es un proceso por etapas. La primera de A?B tiene dos posibilidades, la segunda de B?C tiene cuatro y la tercera de C?D tiene cinco. Por el principio multiplicativo de conteo, el número total de rutas es 2 x 4 x 5 = 40.
Ejemplo 2: Respuestas de examen
¿De cuántas maneras puede ser respondido un examen bajo cada una de las siguientes condiciones?
a.El examen consiste en tres preguntas de opción múltiple con cuatro opciones para cada una. Responder de manera sucesiva las tres preguntas es un proceso de tres etapas. La primera pregunta puede ser respondida de cualquiera de cuatro formas. Del mismo modo, cada una de las otras preguntas puede ser respondida en cuatro formas. Por el principio multiplicativo de conteo el número de maneras para responder el examen es: 4 x 4 x 4 = 4^3 = 64. b.El examen consiste en tres preguntas de opción múltiple (con cuatro opciones para cada una) y cinco preguntas de falso-verdadero. Responder el examen puede ser considerado como un proceso de dos etapas. Primero podemos responder las preguntas de opción múltiple (ésta es la primera etapa), y después responder las preguntas de falso-verdadero (la segunda etapa). De la parte (a), las preguntas de opción múltiple pueden ser respondidas de 64 formas. Cada una de las preguntas de falso-verdadero tiene dos opciones (falso o verdadero), de modo que el número total de maneras de responder las cinco preguntas es 2 x 2 x 2 x 2 x 2. Por el principio multiplicativo de conteo, el número de maneras en que todo el examen puede ser respondido es: (4 x 4 x 4)( 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 4^3 x 2^5 = 2.048.
Ejemplo 3: Funcionarios de un club
Un club tiene 20 miembros. Los cargos de presidente, vicepresidente, secretario y tesorero deben ser cubiertos y ningún miembro puede servir en más de un cargo. ¿Cuántas listas diferentes de candidatos son posibles? Consideremos una lista de candidatos en el orden de presidente, vicepresidente, secretario y tesorero. Cada ordenamiento de cuatro candidatos constituye una lista de candidatos, de modo que el número de posibles listas 20P4. De la ecuación de permutación tenemos:
Ejemplo 4: Placas de automovil
En un estado, las placas de loas automóviles tienen 3 letras seguidas de 3 dígitos. ¿Cuántas placas se pueden hacer si:
a. Se permite repetir letras Se pueden hacer elecciones, una por cada letra o por cada dígito. Tracemos un cuadro para cada etapa:
En la primera etapa se elige una letra de 26 posibles; en la segunda etapa, otra letra (de nuevo entre 26 opciones); en la tercera etapa, otra letra (26 opciones); en la cuarta un digito de 10 posibles; en la quinta, un dígito (de nuevo de entre 10 opciones) y en la sexta etapa, otro digito (10 opciones). Según el principio multiplicativo de conteo, la cantidad de placas distintas es:
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 17576.000 b. No se permite repetir letras
Si no se permite repetir letras, las opciones se pueden representar como sigue: En la primera etapa tenemos 26 letras para elegir, pero una vez seleccionada la primera letra, solo quedan 25 para elegir en la segunda etapa. Una vez elegidas las dos primeras, quedan 24 para elegir en la tercera etapa. Los dígitos se determinan como antes. Así, la cantidad de placas distintas en este caso es:
26 x 25 x 24 x 10 x 10 x 10 = 15600.000
Ejemplo 5: Los seis corredores
¿De cuantas formas distintas puede terminar una competencia entre seis corredores? (Suponga que no hay empates.) Hay seis opciones distintas para el primer lugar, cinco para el segundo, porque después de haberse decidido el primer lugar solo quedan cinco corredores, hay cuatro opciones para el tercer lugar, y así sucesivamente. De acuerdo con el principio multiplicativo, la cantidad de opciones distintas en la que puede terminar esta carrera es:
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
Ejemplo 6: Las pelotas
Calcule el número de formas distintas en que se pueden colocar 15 pelotas en una fila, si cuatro son rojas, tres son amarillas, seis son negras y dos son azules. Se trata de determinar el número de permutaciones distinguibles de esas pelotas. De acuerdo con la formula de permutación con repetición, ese número es:
Dos caminos unen a las ciudades A y B, cuatro unen a B y C, y cinco unen a las ciudades C y D. Para conducir de A a B, luego a C y por ultimo a D, ¿Cuántas rutas diferentes son posibles? Este es un proceso por etapas. La primera de A?B tiene dos posibilidades, la segunda de B?C tiene cuatro y la tercera de C?D tiene cinco. Por el principio multiplicativo de conteo, el número total de rutas es 2 x 4 x 5 = 40.
Ejemplo 2: Respuestas de examen
¿De cuántas maneras puede ser respondido un examen bajo cada una de las siguientes condiciones?
a.El examen consiste en tres preguntas de opción múltiple con cuatro opciones para cada una. Responder de manera sucesiva las tres preguntas es un proceso de tres etapas. La primera pregunta puede ser respondida de cualquiera de cuatro formas. Del mismo modo, cada una de las otras preguntas puede ser respondida en cuatro formas. Por el principio multiplicativo de conteo el número de maneras para responder el examen es: 4 x 4 x 4 = 4^3 = 64. b.El examen consiste en tres preguntas de opción múltiple (con cuatro opciones para cada una) y cinco preguntas de falso-verdadero. Responder el examen puede ser considerado como un proceso de dos etapas. Primero podemos responder las preguntas de opción múltiple (ésta es la primera etapa), y después responder las preguntas de falso-verdadero (la segunda etapa). De la parte (a), las preguntas de opción múltiple pueden ser respondidas de 64 formas. Cada una de las preguntas de falso-verdadero tiene dos opciones (falso o verdadero), de modo que el número total de maneras de responder las cinco preguntas es 2 x 2 x 2 x 2 x 2. Por el principio multiplicativo de conteo, el número de maneras en que todo el examen puede ser respondido es: (4 x 4 x 4)( 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 4^3 x 2^5 = 2.048.
Ejemplo 3: Funcionarios de un club
Un club tiene 20 miembros. Los cargos de presidente, vicepresidente, secretario y tesorero deben ser cubiertos y ningún miembro puede servir en más de un cargo. ¿Cuántas listas diferentes de candidatos son posibles? Consideremos una lista de candidatos en el orden de presidente, vicepresidente, secretario y tesorero. Cada ordenamiento de cuatro candidatos constituye una lista de candidatos, de modo que el número de posibles listas 20P4. De la ecuación de permutación tenemos:
Ejemplo 4: Placas de automovil
En un estado, las placas de loas automóviles tienen 3 letras seguidas de 3 dígitos. ¿Cuántas placas se pueden hacer si:
a. Se permite repetir letras Se pueden hacer elecciones, una por cada letra o por cada dígito. Tracemos un cuadro para cada etapa:
En la primera etapa se elige una letra de 26 posibles; en la segunda etapa, otra letra (de nuevo entre 26 opciones); en la tercera etapa, otra letra (26 opciones); en la cuarta un digito de 10 posibles; en la quinta, un dígito (de nuevo de entre 10 opciones) y en la sexta etapa, otro digito (10 opciones). Según el principio multiplicativo de conteo, la cantidad de placas distintas es:
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 17576.000 b. No se permite repetir letras
Si no se permite repetir letras, las opciones se pueden representar como sigue: En la primera etapa tenemos 26 letras para elegir, pero una vez seleccionada la primera letra, solo quedan 25 para elegir en la segunda etapa. Una vez elegidas las dos primeras, quedan 24 para elegir en la tercera etapa. Los dígitos se determinan como antes. Así, la cantidad de placas distintas en este caso es:
26 x 25 x 24 x 10 x 10 x 10 = 15600.000
Ejemplo 5: Los seis corredores
¿De cuantas formas distintas puede terminar una competencia entre seis corredores? (Suponga que no hay empates.) Hay seis opciones distintas para el primer lugar, cinco para el segundo, porque después de haberse decidido el primer lugar solo quedan cinco corredores, hay cuatro opciones para el tercer lugar, y así sucesivamente. De acuerdo con el principio multiplicativo, la cantidad de opciones distintas en la que puede terminar esta carrera es:
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
Ejemplo 6: Las pelotas
Calcule el número de formas distintas en que se pueden colocar 15 pelotas en una fila, si cuatro son rojas, tres son amarillas, seis son negras y dos son azules. Se trata de determinar el número de permutaciones distinguibles de esas pelotas. De acuerdo con la formula de permutación con repetición, ese número es:
COMBINACIONES CON REPETICIÓN
Sea A un conjunto con n
elementos y m un natural menor o igual que n.
Llamamos combinación con repetición de m elementos de A a todo subconjunto de m elementos de A en el que un elemento puede aparecer hasta m veces. En este caso sólo nos importa la naturaleza, no el orden y además podemos repetir elementos.
El número de combinaciones con repetición viene dado por:
Ejemplos
Llamamos combinación con repetición de m elementos de A a todo subconjunto de m elementos de A en el que un elemento puede aparecer hasta m veces. En este caso sólo nos importa la naturaleza, no el orden y además podemos repetir elementos.
El número de combinaciones con repetición viene dado por:
Ejemplos
¿Cuántas fichas tiene el juego del dominó?
Una ficha de dominó es un rectángulo en el que hay dos partes, en cada una de ellas hay una serie de puntos que indican la puntuación de esa parte. Estas puntuaciones van de blanca (0 puntos) a 6. Tenemos pares de puntuaciones de 0 a 6.
El total de fichas será
En una pastelería hay 6 tipos distintos de
pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 pasteles?.
Nota: Si nos gusta un pastel lo podemos pedir hasta cuatro veces.
Estamos en el caso en el que no nos importa el orden en que elijamos los pasteles y podemos repetir, son combinaciones con repetición.
Un
grupo de 8 amigos están jugando un juego de mesa en el cual los jugadores compiten
para llegar primero a la última casilla de un tablero. Los amigos van a
reconocer al primer, segundo y tercer lugar. ¿Cuántas maneras diferentes hay de
que los 8 amigos tomen esos lugares?
A)
6
B)
56
C)
336
D)
40,320
A)
Incorrecto. Este es el número de maneras en las que tres personas pueden
aparecer en el primer, segundo y tercer lugar. (Es decir, es el número de
permutaciones de 3 personas tomando 3 cada vez.) Existen 8 opciones para el
primer lugar; con el primer lugar decidido, hay 7 opciones para escoger al
segundo; con esos decididos, hay 6 opciones para escoger el tercer lugar. La
respuesta correcta es 8 • 7 • 6, o 336.
B)
Incorrecto. Este es el número de maneras en las que tres personas pueden
aparecen en el grupo de ganadores, pero ignora quién es primer, quien es
segundo y quien es tercer lugar. (Es decir, es el número de combinaciones de 8
personas tomado 3 cada vez) — cuando el orden no importa. En este caso, el
orden importa, porque cada lugar tiene un significado distinto a los otros dos
lugares. ) Existen 8 opciones para el primer lugar; con el primer lugar
decidido, hay 7 opciones para escoger al segundo; con esos decididos, hay 6
opciones para escoger el tercer lugar. La respuesta correcta es 8 • 7 • 6, o
336.
C)
Correcto. Este es el número de permutaciones (el orden importa) de 8 personas
tomadas 3 cada vez. Existen 8 opciones para el primer lugar; con el primer
lugar decidido, hay 7 opciones para escoger al segundo; con esos decididos, hay
6 opciones para escoger el tercer lugar. La respuesta correcta es 8 • 7 • 6, o
336.
D)
Incorrecto. Probablemente calculaste 8! (es decir, n!) y olvidaste
que tenías que dividir entre 5! (o (n − k)!). Existen
8 opciones para el primer lugar; con el primer lugar decidido, hay 7 opciones
para escoger al segundo; con esos decididos, hay 6 opciones para escoger el
tercer lugar. La respuesta correcta es 8 • 7 • 6, o 336.
ANALISIS
COMBINATORIO.
TEOREMA FUNDAMENTAL:
Si un suceso puede tener lugar de m maneras
distintas y cuando ocurre una de ellas se puede realizar otro suceso
inmediatamente de n formas diferentes, ambos sucesos, sucesivamente, pueden
ocurrir de m·n maneras distintas.
Por ejemplo: si hay 3 candidatos para la
presidencia y 5 para vicepresidencia, existen 3·5=15 parejas distintas de
presidente y vicepresidente.
NOTACION FACTORIAL:
Las identidades siguientes muestran el
significado de factorial n escrito n!
5!= 1·2·3·4·5 = 120
6!= 1·2·3·4·5·6 = 720
n!= 1·2·3·4...n
0!=1 por definición.
I
VARIACIONES.
Una variación es un arreglo ordenado de n
objetos diferentes, tomados de r a la
vez se denota por medio de:
Ejemplo: Una persona desea hacer una apuesta
y selecciona los tres primeros lugares
al finalizar la carrera. Si en ella participan 8 caballo, ¿ Qué
posibilidades existen para los tres primeros caballos ‘? (Suponiendo que no haya empate).
II
PERMUTACIONES.
La permutación es un arreglo ordenado de un
conjunto de elementos. Pongamos el caso de tres números: { 1,2,3 }. Una
permutación de ellos es 123, otra es 321,he aquí todas las ordenaciones que
pueden formarse con ellos:123, 132, 213, 231, 312, 321.
El número de permutaciones de n elementos
diferentes tomados n a la vez, se denota
mediante.
= n!
PERMUTACIONES CON REPETICION DE n ELEMENTOS
El número de permutaciones de n elementos
repitiéndose uno de ellos n1 veces,
otro, n2 veces, etc... Viene dado por:
Por ejemplo, el número de maneras en que se
puede distribuir 3 monedas de 25 pesos y 7 monedas de 5, entre 10 niños de
forma que a cada uno de ellos le corresponda 1 sola moneda.
.
maneras
PERMUTACIONES CÍCLICAS.
El número de maneras en que se pueden
colocar n elementos diferentes a lo largo de una circunferencia, es igual a ( n
– 1 )!.
= (n
–1)!
Por ejemplo, 10 personas se pueden sentar
alrededor de una mesa redonda de ¿Cuántas maneras?
= ( 10 –1)! = 9! = 362880 maneras.
Denominamos permutaciones ordinarias o sin
repetición de n elementos, a cada uno de los distintos grupos que pueden
formarse de manera que:
- En cada grupo entran todos los n elementos.
- Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden
de colocación de los elementos.
Al número de permutaciones ordinarias de n
elementos lo representaremos por Pn y se calculará:
Pn=n.(n-1).(n-2)...3.2.1
a este número lo llamaremos factorial de n y
lo representaremos por n! , esto es:
n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1
Si n = 1, se define 1!=1
Si n = 0 se define 0!=1
Si te fijas bien, se pueden relacionar las
permutaciones ordinarias con las variaciones ordinarias de n elementos tomados
de n en n.
Vn,n = Pn
EJEMPLOS RESUELTOS ( Para aclararnos):
-
¿ De cuántas formas pueden sentarse 8 amigos en una fila de butacas de un
cine?
|
Sol: P8 = 403209
formas diferentes de sentarse
|
-
¿ De cuántas formas diferentes se pueden fotografiar 5 amigos frontalmente en
línea recta?
|
Sol: P5 =
120 fotografías distintas
|
-
Un técnico de sonido tiene que unir 6 terminales en 6 conexiones. Si lo
hiciera al azar, ¿ de cuántas formas diferentes podría completar las
conexiones?
|
Sol: P6 =
720 conexiones diferentes
|
a)
Calcula algunos ejemplos.
b)
Coloca " ejemplo " en "1" y realiza la formación de las
permutaciones de orden 4.
ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE TRABAJO.
.
|
Denominamos permutaciones con repetición de
n elementos en los que uno de ellos se repite "a" veces, otro
"b" veces y así hasta el último que se repite k veces ( a+b+c+....k =
n); a todas las ordenaciones posibles de estos n elementos. Consideramos dos ordenaciones
distintas si difieren en el orden de colocación de algún elemento (
distinguible ).
Notaremos a este tipo de permutación como:
|
y se calcularán:
|
EJEMPLOS RESUELTOS ( Para aclararnos):
-
¿ De cuántas formas pueden ordenarse en una estantería 5 libros de lomo
blanco, 3 de lomo azul y 6 de lomo rojo?
|
Sol: 168168
formas ordenaciones distintas
|
-
¿ Cuántas palabras de 6 letras con o sin sentido se pueden formas con las
letras de AMASAS ?
|
Sol: 60
palabras
|
-
En una carrera por equipos participan 4 españoles, 5 franceses y 3
marroquíes. Si lo único reseñable de cada corredor es su nacionalidad, ¿ de
cuántas formas posibles podrían terminar la carrera?
|
Sol: 27720 formas de
acabar la carrera
|
Combinaciones.
Denominamos combinaciones ordinarias o sin
repetición de n elementos tomados de m en m, (m<=n) a las distintas
agrupaciones de m elementos de manera que:
- En cada grupo entren m elementos distintos
- Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento.
El número de combinaciones ordinarias de m elementos
tomados de m en m lo notaremos Cn,my se calcula:
|
Se puede observar fácilmente que:
|
EJEMPLOS RESUELTOS ( Para aclararnos):
-
Una persona está interesada en contar todos los posibles resultados en el
juego de la LOTERÍA PRIMITIVA. ¿ Podrías ayudarle?
|
Sol: C49,6 =
13983816 boletos diferentes (difícil acertar ¿no?)
|
-
Siete amigos hacen cola para el cine. Al llegar sólo quedan 4 entradas. ¿ De
cuántas formas podrían repartirse estas entradas para ver la película ?
|
Sol: C7,4 =
35 formas distintas de reparto
|
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En una clase de 30 alumnos se quiere elegir un grupo de 5 alumnos para
participar en un concurso. ¿ De cuántas formas podría hacerse ?
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Sol: C30,5 =
142506 posibles grupos
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En la siguiente escena; puedes observar la
fórmula general para el cálculo de combinaciones, así como una calculadora con
la que te aconsejo que practiques algunos casos particulares. Si sitúas el
control "ejemplo " en la posición "1"; aparece un
problema clásico de combinaciones. Se trata de trazar todos los segmentos
posibles que unan " n " puntos no alineados. Para asegurar esto
último y sin que ello suponga ninguna pérdida de generalidad para el problema,
he colocado los puntos como si fuesen los vértices de un polígono regular.
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13. Coloca el
control "ejemplo " en la posición "1". Por defecto
aparecen 5 puntos que vas a unir por segmentos. Pon el control
"traza segmentos" en "1" y cuenta los segmentos. Si vas
aumentando "traza..." y contando los segmentos; al agotar el
procedimiento y sumar tus resultados, verás que la cifra total coincidirá con
el número combinatorio
C(5,2).
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14..
Aumenta el control "n" al número que desees y repite la experiencia.
( La escena tiene una limitación de 15) ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE
TRABAJO.
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15..
Intenta deducir una fórmula general que nos permita calcular el número de
diagonales de cualquier polígono regular. ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE TRABAJO.
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Primeras propiedades algebraicas de los números
combinatorios:
a) Muy fácil de demostrar. Déjate llevar
por la definición y ten en cuenta que 0!=1
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b) Muy fácil. Aplica la definición
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c) Fácil, fácil,...
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d) Muy fácil. Aplica la definición e intercambia de lugar el denominador. ¿
verdad que sí?
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e)
Difícil. Como dijo Fermat, La demostración no cabe en este espacio. Te
invito a que lo intentes en tu cuaderno
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Binomio de Newton.
Una de las aplicaciones algebraicas más
interesantes de los números combinatorios. Permite el desarrollo de cualquier
potencia de un binomio identificando los coeficientes de las respectivas
potencias..
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Como aplicación de las fórmulas anteriores
observa los siguientes ejemplos prácticos.
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Ejemplos:
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¿Cuántas palabras
diferentes de tres letras pueden formarse con las letras de la palabra CIMA,
sin que se repita ninguna letra? Una vez calculado el número, escríbelas todas
ordenadamente.
Calcula cuántas palabras
diferentes de cuatro letras distintas pueden formarse con las letras de la
palabra MUSA. Después escríbelas ordenadamente.
¿Cuántos subconjuntos
distintos de tres elementos pueden formarse con un conjunto de 8 elementos?
Ejemplos
¿Cuántos
números de 5 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,5?
P5 =5! = 5.4.3.2.1 = 120
¿
Cuantos números de 4 cifras se pueden
formar con los dígitos 0,1,2,3?
P4
– P3 = 4! -3!= 24-6 = 18
Hemos
restado P3 para descontar los números que empiezan por cero, ya que
estos no son de cuatro cifras.
¿Cuántos
números de 6 cifras se pueden formar si en ellos siempre hay 1 uno, 2 doses y 3
treses ¿
P61,2,3
=
Ejemplos
¿Cuántos números de tres cifras
distintas se pueden formar con los dígitos 1,2,3,….,9?
Con las letras del
alfabeto español(25 letras) ¿Cuántas
palabras (con o sin sentido) de 6 letras distintas pueden formarse?- ¿Cuántas
empiezan por vocal?
V , 5V
Ejemplos
Como
respuesta a un anuncio de trabajo se
presentan 12 personas para cubrir tres plazas de administrativo ¿ Cuantas
grupos diferentes de personas se pueden
seleccionar?
Debemos
elegir grupos de 3 de entre los 12 , no influye el orden
C
¿Cuántos
triángulos distintos se pueden formar con 8 puntos en el plano si tres de ellos nunca están alineados?
Para
que dos triángulos sean distintos se tienen que diferenciar al menos en un
vértice y el orden en que tomamos los vértices no influye
C
¿Cuántos
conjuntos de tres letras existen elegidas entre a, b, c, d, e, f, g si en
cada conjunto puede haber más de
una letra igual?
Tenemos
en cuenta que el conjunto y que los elementos se
pueden repetir, es decir es un conjunto de tres
letras, luego
CR
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