REVISANDO CONTENIDOS

Traslación, Rotación y Simetría (Reflexión) son tres transformaciones isométricas mediante las cuales puede hacerse coincidir una figura consigo misma.

Traslación: Isometría en que todos los puntos se desplazan una distancia fija hacia sus imágenes a lo largo de trayectorias paralelas.

 

Ejemplos:

Una persona subiendo (o bajando) por una escala mecánica.

Un ascensor panorámico.

Un automóvil desplazándose por un camino recto.

Un avión al despegar y luego al adquirir velocidad de crucero.

 

 

Rotación: Isometría en que todos los puntos giran en un ángulo constante con respecto a un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo de rotación.

 

Estas palabras significan que todos los puntos de la figura son rotadas a través de círculos concéntricos en O y que ellos describen los mismos arcos (en medida angular) de estos círculos.

Ejemplos de rotación

Un carrusel de niños

Las ruedas de una bicicleta.

Las aspas de un ventilador.

Los punteros de un reloj análogo.

Hélices de un avión o un helicóptero.

 

Algunos contextos en los que se ven o utilizan las simetrías:

En la naturaleza: Un trébol, una estrella de mar.

En Física: El movimiento circular uniforme, velocidad angular, fuerzas centrípeta y centrífuga, la rotación planetaria.

 

Simetría

La idea de simetría es inherente a la percepción humana. Por lo tanto es apropiado recurrir a algunos  naturales de simetría y de gran belleza.

Al observar la mariposa y el escarabajo, diremos que cada uno es simétrico, pues al trazar una línea recta en el centro de cada uno de ellos, y si se doblara el papel por esta línea, la parte que está a la derecha de la línea sería exactamente igual a la parte que está a la izquierda de esa misma línea, de tal manera que esas dos partes coincidan.

 

En cada uno de los ejemplos anteriores se ve claramente que al trazar una recta en el centro de la figura, las partes formadas son indistinguibles en forma y tamaño, excepto por la posición que ocupan.

En base a las observaciones en los ejemplos anteriores, resulta natural descubrir que hay una transformación que lleva la parte izquierda de la figura a la parte derecha sin cambiar su forma ni sus dimensiones.

 

Otro Ejemplo:

EJERCICIOS

 

1.- El   se ha girado en torno a O, quedando en la posición del  . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I    OA = OC                 II                  III AC = BD Solo I Solo II Solo I y II Sólo II y III       e)   I, II y III

               

2. El cuadrado de vértices A(1,1); B(3,1); C(3,3) y D(1,3) es trasladado de modo que el vértice C quede en el origen. ¿Cuáles son las coordenadas de los demás vértices?

a) A’(-2,-2); B’(0,-2) ; D’(-2,0)

b) A’(4,4); B’(6,4) ; D’(4,6)

c) A’(-1,-1); B’(1,-1) ; D’(-1,1)

d) A’(1/3,1/3); B’(1,1/3) ; D’(1/3,1)

e) Falta Información

 

3. ¿Cuál de las siguientes alternativas no corresponde a una transformación isométrica?

 

a) Traslación

b) Simetría

c) Rotación

d) Reflexión

e) Permutación

 

4. El movimiento de un ascensor panorámico es un ejemplo de:

 

a) Traslación

b) Simetría

c) Rotación

d) Isometría

e) Teselación

 

5. ¿Qué figura muestra todo los ejes de simetrías de un rectángulo?:

 

a)

b)

c)

d)

e) N.A.

6.  ¿Cuál de las alternativas representa la rotación de la figura dada?

a)

b)

c)

d)

e) Ninguna de las anteriores

 

7. Al trasladar el triángulo de vértices A(-1,5), B(2,0) y C(3,1), según el vector de traslación (4,1), el vértice homólogo correspondiente a B’ es:

 

a) (3,6)

b) (2,1)

c) (6,0)

d) (6,1)

e) (7,2)

 

8. Una circunferencia tiene como centro el punto (3,5). Si el vector de traslación de este punto es (-5, 1), ¿Cuál es el centro de la circunferencia trasladada?

 

a) (-2,6)

b) (8,6)

c) (-2,4)

d) (-15,5)

e) (8,4)

 

9. Dado un triángulo de vértices A = (-5,-3); B = (2,-1) y C = (1,4). ¿Cuál es el vértice de B si el triángulo ABC se traslada 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba?

        a) (-7,0)                         b) (4,2)                      c) (-3,1)                             d) (3,7)                  e) (4,-4)

 

 

10. En la figura las coordenadas de P son (5, 6). Si P es punto medio de AB, ¿cuáles son las coordenadas de B?

 

a) (6,5) d) (5,6)

b) (5,4) e) (5,9)

c) (5,5)

 

 

 

 

11. El cuadrado ABCD de la figura tiene sus lados paralelos a los ejes coordenados. Si el lado AB mide 5 cm. ¿cuáles son las coordenadas del vértice C? a) (3,8)   b) (8,2)   c) (8,3)   d) (8,7)   e) (7,8)

25. Al rotar la figura, en 270º con respecto al punto P, se obtiene

 

 

 

 

 

 

A)                          B)                              C)                               D)                             E)

 

 

 

 

 

 

 

26. ¿Cómo varían las coordenadas de un punto (X, Y) al efectuar en un plano cartesiano, una rotación positiva de 180º con centro en el origen?

 

 A) (X, -Y)                              B) (-X, Y)                              C) (X, Y)                               D) (-X, -Y)                             E) (2X,2Y)

 

27. Si realizo una traslación con un vector de traslación T(2, -1) al punto A(1, -2), en un plano cartesiano, el punto resultante después de la traslación es:

 

A) (1, -3)                                B) (1, 1)                                C) (3, -3)                               D) (-3, 3)                               E) (3, 2)

 

28. Si las coordenadas de un punto inicial (X, Y) varían a (-Y, X) cuando se aplica una rotación (positiva) de 90º , en un plano cartesiano, con centro en el origen ¿Cuáles serían las coordenadas del triángulo ABC luego de aplicar una rotación de 90º (con centro en el origen) y posteriormente una traslación T(-2, 3)?

Nota: Los vértices del triángulo son: A (2, 3), B (5, 1) y C (4, 5).

 

A) A(-3, 2), B(-1, 5) y C(-5, 4)                 B) A(0, 6), B(3, 4) y C(2, 7)                 C) A(-5, 5), B(-3, 8) y C(-7, 7)

D) A(-5, 5), B(3, 4) y C(2, 7)                   E) Ninguna de ellas.

 

29. Si se rota en 270º el triángulo de vértices: A(2, 3), B(7, -2) y C(5, 8), en un plano cartesiano, con centro en el origen y sentido anti-horario, los vértices del triángulo resultante son :

 

A) A(2, 3), B(7, -2) y C(5, 8)                   B) A(-2, -3), B(-7, 2) y C(-5, -8)               C) A(3, 2), B(-2, 7) y C(8, 5)

D) A(3, -2), B(-2, -7) y C(8, -5)                E) A(-2, 3), B(-7, -2) y C(-5, 8)

 

30. Si Q = (2, 5) y Q´= (-9, 2), ¿Qué vector traslación T(X, Y), cambia Q a Q´?

 

A) T(11, 3)                    B) T(-7, 3)                     C) T(-7, -7)                    D) T(-11, -3)                  E) T(11, -3)

 

31. ¿Qué vector traslación reemplaza a T1 (3, 2) seguido de T2 (-2, 5)?

 

A) T (1, 7)                     B) T (7, 1)                     C) T (-7, -1)                   D) T (7, -1)                    E) T (-1, 7)

 

32. ¿Qué par de vectores traslación reemplaza, al aplicar uno después del otro, a T(6, -4)?

 

A) T(2, 3) y T(4, -7)                   B) T(1, -2) y T(5, -2)                  C) T(4, 5) y T(2, -9)      

D) T(6, 0) y T(0, -4)                   E) Todas las anteriores son verdaderas.

 

33. Si se rota en 180º el triángulo de vértices: A(0, 0), B(4, 3) y C(5, 0), en un plano cartesiano, con centro en el origen y sentido anti-horario, y luego realizo una traslación con un vector de traslación T(-2, 2) los vértices del triángulo resultante son :

 

A) A(-2, 2), B(-6,-1), C(-7, 2)                  B) A(-2, 2), B(-1,6), C(7, -2)                   C) A(-2, 2), B(1,-6), C(2, 7)

D) A(2, -2), B(-1,6), C(-2, -7)                  E) A(4, 2), B(-1,-6), C(7, -2) 5

 

34. Si el trazo AB, ubicado en un plano cartesiano, de extremos A(2,5) y B(-2,0)  se gira positivamente, con centro en el origen 180º, luego se gira 90º más y finalmente se gira otros 90º, los extremos del trazo resultante son:

 

A) (5,2) y (0,-2)             B) (-5,-2) y (2,0) C) (-2,-5) y (2,0) D) (2,-5) y (-2,0) E) (2,5) y (-2,9)

 

35. Si en un plano cartesiano el punto A(3,2) se traslada a B(2,4)  y luego a C(-2,-1), ¿cuál es el vector traslación que se debe emplear para trasladar en un solo paso el punto A a la ubicación C?

 

A) T(-5, -3)                B) T(5, 3)                   C) T(-5, 0)                 D) T(0, -3)                 E) T(-3,-5)

 

36. Si al punto A(3,4), ubicado en un plano cartesiano, se le aplica una rotación de 90° con centro en el origen, y luego una traslación T(5, -2), el punto A´ sería:

 

A) (1, 6)                        B) (6, 4)                        C) (11, -3)                     D) (1, 1)                        E) (11, -1)

 

37. ¿Cómo varían las coordenadas (X,Y) de los vértices de un triangulo ABC, en un plano cartesiano al efectuar una rotación positiva de 360° con centro en el origen y luego una traslación con un vector de traslación T(0, 2)?

 

A) (X +2 ,-Y)              B) (X, Y +2)               C) (Y ,Y +2)               D) (X,0)                      E) No varían.

 

38. Un tablero de ajedrez está formado por cuadrados ordenados en 8 columnas identificadas con las letras A, B, C, D, E, F, G, H (de izquierda a derecha) y 8 filas, identificadas con los números 3, 4, 5, 6, 7, 8. (de abajo hacia arriba), luego:

¿Qué vector de traslación se debe aplicar a un caballo que parte en la posición B1 para que llegue a la casilla C3?

 

A) (0, 3)                     B) (1, 3)                     C) (1, 2)                     D) (0, 2)                     E) (-1, -3)

 

39. El triángulo que se obtiene al reflejar el triángulo ABC, ubicado en un plano cartesiano de vértices A(2,0),

 B(2,7), C(5,4) con respecto al eje Y (considerando el eje Y como eje de simetría) tiene vértices:

 

A) (0,0), (0,7), (2,4)                   B) (-2,0), (-2,7), (-5,4)                C) ) (-2,0), (2,7), (5,4)

D) (2,0), (-1,4), (2,7)                           E) (2,0), (5,4), (7,0)

 

40. Si al triángulo ABC de la figura, ubicado en un plano cartesiano de vértices A(2,2); B(2, -4) y C(6, -1) ,se le aplica una rotación de 90º, con centro en el origen, y luego una traslación T(5, -2), el vértice C sería:

A) (1, 6)

B) (6, 4)

C) (11, -3)

D) (1, 1)

E) Ninguna de ellas

 

 

 

 

 

 

 

 

41. Para que un punto A(2,5) se desplace hasta la posición A’(-4,-1), se debería aplicar

      (1) Una traslación con vector T(-6,-6)

      (2) Un giro positivo con centro en el origen y ángulo de rotación de 90º

 A) (1) por sí sola.

 B) (2) por sí sola.

 C) Ambas juntas (1) y (2).

 D) Cada una por sí sola (1) ó (2).

 E) Se requiere información adicional

 

 

Nota: Las actividades complementarias, pronto serán entregadas.

José tiene 9 amigos y desea invitarlos a cenar, pero sólo puede invitar a 6 simultáneamente. ¿Cuántos grupos distintos de invitados puede tener?.

Queremos saber cuantos grupos distintos podemos formar independientemente del orden en que se elija los invitados.
hay 84 grupos distintos de invitados

1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.

Principio del formulario

Ejercicios de Combinaciones

En esta serie de ejercicios aprenderemos todo lo que hemos visto en los temas relacionados a combinaciones.

Listado de ejercicios propuestos:

¿Cuántas combinaciones se pueden hacer entre  elementos diferentes si los agrupamos de a ?

¿Cuántas combinaciones se pueden hacer entre  elementos diferentes si los agrupamos de a ?

¿Cuántas combinaciones se pueden hacer entre  elementos diferentes si los agrupamos de a ?

¿Cuántas combinaciones se pueden hacer entre  elementos diferentes si los agrupamos de a ?

¿Cuántas combinaciones se pueden hacer entre  elementos diferentes si los agrupamos de a ?

¿Cuántas combinaciones se pueden hacer entre  elementos diferentes si los agrupamos de a ?

¿Cuántas combinaciones se pueden hacer entre  elementos diferentes si los agrupamos de a ?

¿Cuántas combinaciones se pueden hacer entre  elementos diferentes si los agrupamos de a ?

¿Cuántas combinaciones se pueden hacer entre  elementos diferentes si los agrupamos de a ?

¿Cuántas combinaciones se pueden hacer entre  elementos diferentes si los agrupamos de a ?

 

Final del formulario

¿Necesitas Ayuda?

 Mejor respuesta:  De permutaciones:
1a. Tienes 5 libros para acomodar en un estante de cuantas formas los puedes acomodar:
P 5 en 5 = 5*4*3*2*1= 120
1b Si solo hay tres lugares de cuantas formas se pueden acomodar los libros
P 5 en 3= 5*4*3= 60

2. En una carrera corren 8 caballos, si solo los 3 primeros ganan premio de cuantas maneras se puede hacer la premiacion:
P de 8 en 3 = 8*7*6= 336 maneras

Combinaciones.
1. De un grupo de 7 personas se seleccionan 3 para un equipo , cuantos equipos se pueden hacer:
como no hay orden son combinaciones)
C de 7 en 3= 7 * 6* 5 / 3 * 2 *1 = 210 / 6 = 35 equipos

2. Un examen consta de 10 preguntas de las cuales solo se pueden elegir 8, de cuantas maneras se puede resolver el examen: (como no hay orden son combinaciones)
C de 10 en 8= 10*9*8*7*6*5*4*3 / 8*7*6*5*4*3*2*1 = 1814400/ 40320 = 45 maneras
Fórmulas de ordenaciones y combinaciones

Con repetición y con orden.

 

 

Sin repetición y con orden.

 

 

Con repetición y sin orden.

 

 

Sin repetición y sin orden.

 

 

Ejemplos

Tenemos 5 elementos.

que llamaremos:

A,B,C,D,E

Entonces:

n = 5

k = 3

Si tomamos 3 elementos cada vez con orden y con repetición de 5 elementos tendremos 125 ordenaciones:
Ordenaciones con repeticion de 5 elementos tomando 3 cada vez

Lo calculamos con la fórmula:

Sustituimos

n= 5 y k = 3

Si tomamos 3 elementos cada vez con orden y sin repetición de 5 elementos tendremos 60 ordenaciones:
Ordenaciones sin repeticion de 5 elementos tomando 3 cada vez

Lo calculamos con la fórmula:

Si tomamos 3 elementos cada vez sin orden y con repetición de 5 elementos tendremos 35 combinaciones:
Combinaciones sin orden y con repeticion de 5 elementos tomando 3 cada vez

Lo calculamos con la fórmula:

Si tomamos 3 elementos cada vez sin orden y sin repetición de 5 elementos tendremos 10 combinaciones:
Combinaciones sin orden y sin repetición de 5 elementos tomando 3 cada vez

Lo calculamos con la fórmula:

1¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

2¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

3¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

4Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

5Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

6¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

7En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

8¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?

9>Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

10Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

1Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

2Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

11Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

m = 5     n = 5

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8

 En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

Ejercicio 8 resuelto

¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?

Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

Soluciones:

1Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

2Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

Ejercicio 11 resuelto

Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?

1) ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si no se permite la repetición?

`360

2) ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5 y 6 si se permite la repetición?

64

3) Un entrenador de baloncesto dispone de 12 jugadores. ¿Cuántos diferentes equipos de cinco jugadores puede formar?

792

4) De una clase de 20 niñas se escogerán 6 para ir a un paseo. ¿Cuántos posibles grupos de 6 se pueden formar?

38760

 

Ejercicios resueltos de permutaciones sin repetición y variaciones

1. Un vendedor quiere visitar 5 ciudades (por ejemplo Albacete, Barcelona, Córdoba, Denia y Estepona). Si no quiere repetir ciudades, ¿cuántas rutas distintas puede elaborar si puede empezar y acabar en cualquiera de las ciudades? (tomado de un examen del curso de acceso a la universidad en la UNED, curso 2008/09)

El vendedor puede elegir la primera ciudad que visitará de entre las 5. Elegirá la segunda ciudad que visitará de entre las 4 restantes. Para la tercera ciudad tiene 3 opciones. Para la cuarta, 2. Y para la última, 1.

Así que puede elaborar 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 rutas distintas.

Podemos utilizar también la fórmula de las permutaciones y decir que 

2. ¿Cuántos números de 3 cifras (donde la primera por la izquierda no es un cero) existen cuando quitamos los que tienen todas sus cifras iguales? (tomado de un examen del curso de acceso a la universidad en la UNED, curso 2007/08)

Vamos a calcular cuántos números existen de 3 cifras, y luego restaremos la cantidad de los que tienen las 3 cifras iguales.

Podemos elegir la primera cifra de entre 9 posibilidades (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Las siguientes dos cifras podemos elegirlas de entre 10 posibilidades cada una (los 10 guarismos).

Así que existen 9 · 10 · 10 = 900 números de 3 cifras.

De éstos, un total de 9 tienen todas su cifras repetidas (111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999). Así que la cantidad de números pedida es de 900 – 9 = 891

3. En una carrera de maratón intervienen 3 españoles, 2 ingleses, 1 italiano, 3 alemanes, 2 franceses y 1 belga. Si un pódium consiste en 3 personas situadas en 3 puestos distintos, ¿cuántos pódiums distintos pueden darse al acabar la carrera? (tomado de un examen del curso de acceso a la universidad en la UNED, curso 2006/07)

Tenemos un total de 3 + 2 + 1 + 3 + 2 + 1 = 12 corredores. El primer puesto lo puede alcanzar cualquiera de los 12 corredores. El segundo está al alcance de 11 corredores, y el tercero puede ser para cualquiera de los 10 restantes.

Así que existen 12 · 11 · 10 = 1320 distintos pódiums posibles.

También podemos utilizar la fórmula de las variaciones sin repetición 

4. ¿Cuántos números de 5 cifras son divisibles por 5?

Para que un número sea divisible por cinco debe acabar en 0 ó 5, así que:

Podemos elegir la primera cifra de entre 9 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, si la primera cifra es 0 no cuenta como número de 5 cifras). Podemos elegir la segunda cifra de entre 10 (nos vale cualquier guarismo). También podemos elegir de entre 10 la tercera y la cuarta cifra. La última cifra solo puede ser 0 ó 5, lo que nos da solo 2 posibilidades.

Así que existe un total de 9 · 10 · 10 · 10 · 2 = 18000 números de 5 cifras divisibles por 5.

Recuerda consultar los comentarios. En ellos se discuten algunos problemas interesantes más. Uno especialmente interesante es éste de Ángel. ¡No te lo pierdas!

 

10.1  Fórmulas combinatoria, variaciones, permutaciones y combinaciones

Fórmulas combinatoria, formas de agrupar un conjunto de elementos, variaciones, permutaciones y combinaciones con y sin repetición

Combinatoria

La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.

Fórmulas combinatoria

Llamamos m a los elementos disponibles y n a los elementos que tomamos por grupo.

Diferenciar variaciones, permutaciones y combinaciones

Ejemplo

E3.- Con las cifras 1, 3, 5, 7 y 9, ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden escribir?. ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden escribir?. ¿Cuántos de ellos son menores que 70.000?.

Para la primera pregunta es claro que se trata de variaciones ordinarias, así:

La segunda cuestión no aclara si se pueden repetir o no las cifras, por lo que habrá que suponer que si, ya que hay números de cinco cifras con las cinco iguales, así pues:

a

b

c

d

e

La tercera cuestión es algo más compleja. Debemos tener claro el proce­so de formación de un número a partir de las cifras que nos dan. Es decir, un número no es más que unas cifras repetidas en ocasiones pero que por la posición que ocupan dentro del mismo adquieren un valor distinto. Así, como puedes ver más abajo, el número de cinco cifras está com­puesto por e unidades, d decenas, c centenas, b millares y a decenas de millar. Por las condiciones del problema, la posición de las decenas de millar solo la pueden ocupar las cifras menores que 7, ya que deben ser números menores que 70.000, luego solo disponemos de tres cifras, 1, 3 y 5. Para las otras posiciones pode­mos emplearlas todas y repetidas, así pues, el total de números que habrá entre 11.111 y 59.999, será:

E4.- Con los diez soldados que componen un pelotón, ¿Cuántas patrullas de dos soldados se pueden hacer?.

La patrulla formada por Antonio y Juan es la misma que la formada por Juan y Antonio, y si no te lo crees pregúntales si les hace gracia hacer turnos dobles de patrulla, luego el orden de los elementos no discrimina las distintas agrupaciones, solo los elementos en si, y además éstos no se pueden repetir, aún no hay clones humanos, luego se trata de combina­ciones, así pues:

E5.- En una competición de natación para la final han quedado cinco nada­dores que se disputan el oro, la plata y el bronce. ¿De cuántas formas distin­tas se los pueden repartir?.

Ahora el orden en que se sitúen los elementos y los elementos en sí son de importancia para distinguir las distintas agrupaciones, salvo que los elementos no se pueden repetir, luego se trata de variaciones ordinarias:

E6.- ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar en un estante de 9 plazas tres libros rojos, dos azules y cuatro verdes, si los libros del mismo color no se distinguen entre sí como diferentes?.

Se trata de variaciones de nueve elementos tomados de nueve en nueve, o sea, permutaciones de 9. Además hay elementos que se repiten, luego se trata de permutaciones con repetición, así pues:

E7.- Con las cifras 3, 5 y 7, ¿Cuántos números de seis cifras se pueden for­mar si se repite cada una de ellas dos veces?.

Lo mismo que antes, así pues:

E8.- Calcular p para que

Se trata simplemente de aplicar el concepto de variación, desarrollar las mismas, reducir términos y resolver la ecuación que resulte de todo ello:

E9.- De  entre los once alumnos de una clase hay que elegir cinco para hacer un mural. ¿Cuántos grupos distintos se pueden formar?. ¿En cuántos de di­chos grupos están tres alumnos determinaos, por ejemplo Ana, Andrés y Te­resa?.

De nuevo el orden para la primera cuestión no influye o no discrimina los grupos, luego se trata de combinaciones, así:

Para la segunda cuestión debemos tener en cuenta que tres de los alum­nos siempre han de formar parte del grupo, por lo que solo nos quedan ocho alumnos para intercambiar en los huecos que quedan libres en cada agrupación, así pues:

E10.- Calcular p si

Al igual que en el E8.-, desarrollamos las expresiones:

E11.- ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 sin que se repita ninguna?. ¿Cuántos terminan en 6?. ¿Cuántos terminan en 56?.

Lo mismo que el E3.-, así pues, para la primera pregunta:

Para la segunda debemos eliminar la posición de las unidades y la cifra 6, ya que éstas no se repiten, así pues:

Para la tercera y última debemos eliminar las casillas de las unidades y de las decenas, así como las cifras 6 y 5, nos queda:

E12.- Lo mismo que antes, pero ahora se pueden repetir las cifras.

En este caso, y por orden, nos quedaría:

 

Variaciones, Permutaciones y Combinaciones

Enviado por rene y clasificado en Matemáticas

Escrito el 10 de Septiembre de 2009 en español con un tamaño de 206 KB

También podemos calcular las variaciones mediante factoriales: 

Las variaciones se denotan por 

Ejemplos
1. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.

2. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?
m = 5, n = 3, m ? n
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes. 

3. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?
m = 10, n = 3
No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3.
Sí importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista.
No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra.

Variaciones con repetición

Se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ? n
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Ejemplos
1. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?
m = 5, n = 3
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
Sí se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

Permutaciones

Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Ejemplos

1.Calcular las permutaciones de 6 elementos. 

P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 

2. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.
m = 5, n = 5.
Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran 5.
Sí importa el orden. Son números distintos el 12345, 24531, 54321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

Permutaciones circulares

Es un caso particular de las permutaciones. Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

Ejemplos
1. Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.
PC7= (7 ? 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

Permutaciones con repetición

Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...(m = a + b + c + ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que :
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.

Ejemplos

1.

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
m = 9, a = 3, b = 4, c = 2, a + b + c = 9
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.


2. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos. 

Combinaciones

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ? n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
Las combinaciones se denotan por 

Ejemplos

1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.


2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos. 

Combinaciones con repetición

Las combinaciones con repeticiónde m elementos tomados de n en n (m ? n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
Sí se repiten los elementos.


Ejemplo:
En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? No entran todos los elementos. Sólo elije 4.. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís. Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo. 

Ejercicios Resueltos

Ejemplo 1: Rutas de viaje
Dos caminos unen a las ciudades A y B, cuatro unen a B y C, y cinco unen a las ciudades C y D. Para conducir de A a B, luego a C y por ultimo a D, ¿Cuántas rutas diferentes son posibles? Este es un proceso por etapas. La primera de A?B tiene dos posibilidades, la segunda de B?C tiene cuatro y la tercera de C?D tiene cinco. Por el principio multiplicativo de conteo, el número total de rutas es 2 x 4 x 5 = 40. 

Ejemplo 2: Respuestas de examen
¿De cuántas maneras puede ser respondido un examen bajo cada una de las siguientes condiciones?
a.El examen consiste en tres preguntas de opción múltiple con cuatro opciones para cada una. Responder de manera sucesiva las tres preguntas es un proceso de tres etapas. La primera pregunta puede ser respondida de cualquiera de cuatro formas. Del mismo modo, cada una de las otras preguntas puede ser respondida en cuatro formas. Por el principio multiplicativo de conteo el número de maneras para responder el examen es: 4 x 4 x 4 = 4^3 = 64. b.El examen consiste en tres preguntas de opción múltiple (con cuatro opciones para cada una) y cinco preguntas de falso-verdadero. Responder el examen puede ser considerado como un proceso de dos etapas. Primero podemos responder las preguntas de opción múltiple (ésta es la primera etapa), y después responder las preguntas de falso-verdadero (la segunda etapa). De la parte (a), las preguntas de opción múltiple pueden ser respondidas de 64 formas. Cada una de las preguntas de falso-verdadero tiene dos opciones (falso o verdadero), de modo que el número total de maneras de responder las cinco preguntas es 2 x 2 x 2 x 2 x 2. Por el principio multiplicativo de conteo, el número de maneras en que todo el examen puede ser respondido es: (4 x 4 x 4)( 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 4^3 x 2^5 = 2.048. 

Ejemplo 3: Funcionarios de un club
Un club tiene 20 miembros. Los cargos de presidente, vicepresidente, secretario y tesorero deben ser cubiertos y ningún miembro puede servir en más de un cargo. ¿Cuántas listas diferentes de candidatos son posibles? Consideremos una lista de candidatos en el orden de presidente, vicepresidente, secretario y tesorero. Cada ordenamiento de cuatro candidatos constituye una lista de candidatos, de modo que el número de posibles listas 20P4. De la ecuación de permutación tenemos:


Ejemplo 4: Placas de automovil
En un estado, las placas de loas automóviles tienen 3 letras seguidas de 3 dígitos. ¿Cuántas placas se pueden hacer si:
a. Se permite repetir letras Se pueden hacer elecciones, una por cada letra o por cada dígito. Tracemos un cuadro para cada etapa:
En la primera etapa se elige una letra de 26 posibles; en la segunda etapa, otra letra (de nuevo entre 26 opciones); en la tercera etapa, otra letra (26 opciones); en la cuarta un digito de 10 posibles; en la quinta, un dígito (de nuevo de entre 10 opciones) y en la sexta etapa, otro digito (10 opciones). Según el principio multiplicativo de conteo, la cantidad de placas distintas es:
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 17576.000 b. No se permite repetir letras
Si no se permite repetir letras, las opciones se pueden representar como sigue: En la primera etapa tenemos 26 letras para elegir, pero una vez seleccionada la primera letra, solo quedan 25 para elegir en la segunda etapa. Una vez elegidas las dos primeras, quedan 24 para elegir en la tercera etapa. Los dígitos se determinan como antes. Así, la cantidad de placas distintas en este caso es:
26 x 25 x 24 x 10 x 10 x 10 = 15600.000

Ejemplo 5: Los seis corredores
¿De cuantas formas distintas puede terminar una competencia entre seis corredores? (Suponga que no hay empates.) Hay seis opciones distintas para el primer lugar, cinco para el segundo, porque después de haberse decidido el primer lugar solo quedan cinco corredores, hay cuatro opciones para el tercer lugar, y así sucesivamente. De acuerdo con el principio multiplicativo, la cantidad de opciones distintas en la que puede terminar esta carrera es:
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Ejemplo 6: Las pelotas
Calcule el número de formas distintas en que se pueden colocar 15 pelotas en una fila, si cuatro son rojas, tres son amarillas, seis son negras y dos son azules. Se trata de determinar el número de permutaciones distinguibles de esas pelotas. De acuerdo con la formula de permutación con repetición, ese número es:

COMBINACIONES CON REPETICIÓN

Sea A un conjunto con n elementos y m un natural menor o igual que n.
Llamamos combinación con repetición de m elementos de A a todo subconjunto de m elementos de A en el que un elemento puede aparecer hasta m veces. En este caso sólo nos importa la naturaleza, no el orden y además podemos repetir elementos.
El número de combinaciones con repetición viene dado por:
 
Ejemplos

¿Cuántas fichas tiene el juego del dominó?

Una ficha de dominó es un rectángulo en el que hay dos partes, en cada una de ellas hay una serie de puntos que indican la puntuación de esa parte. Estas puntuaciones van de blanca (0 puntos) a 6. Tenemos pares de puntuaciones de 0 a 6.
El total de fichas será 

En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 pasteles?.

Nota: Si nos gusta un pastel lo podemos pedir hasta cuatro veces.
Estamos en el caso en el que no nos importa el orden en que elijamos los pasteles y podemos repetir, son combinaciones con repetición.

Un grupo de 8 amigos están jugando un juego de mesa en el cual los jugadores compiten para llegar primero a la última casilla de un tablero. Los amigos van a reconocer al primer, segundo y tercer lugar. ¿Cuántas maneras diferentes hay de que los 8 amigos tomen esos lugares?

A) 6

B) 56

C) 336

D) 40,320

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Incorrecto. Este es el número de maneras en las que tres personas pueden aparecer en el primer, segundo y tercer lugar. (Es decir, es el número de permutaciones de 3 personas tomando 3 cada vez.) Existen 8 opciones para el primer lugar; con el primer lugar decidido, hay 7 opciones para escoger al segundo; con esos decididos, hay 6 opciones para escoger el tercer lugar. La respuesta correcta es 8 • 7 • 6, o 336.

B) Incorrecto. Este es el número de maneras en las que tres personas pueden aparecen en el grupo de ganadores, pero ignora quién es primer, quien es segundo y quien es tercer lugar. (Es decir, es el número de combinaciones de 8 personas tomado 3 cada vez) — cuando el orden no importa. En este caso, el orden importa, porque cada lugar tiene un significado distinto a los otros dos lugares. ) Existen 8 opciones para el primer lugar; con el primer lugar decidido, hay 7 opciones para escoger al segundo; con esos decididos, hay 6 opciones para escoger el tercer lugar. La respuesta correcta es 8 • 7 • 6, o 336.

C) Correcto. Este es el número de permutaciones (el orden importa) de 8 personas tomadas 3 cada vez. Existen 8 opciones para el primer lugar; con el primer lugar decidido, hay 7 opciones para escoger al segundo; con esos decididos, hay 6 opciones para escoger el tercer lugar. La respuesta correcta es 8 • 7 • 6, o 336.

D) Incorrecto. Probablemente calculaste 8! (es decir, n!) y olvidaste que tenías que dividir entre 5! (o (n − k)!). Existen 8 opciones para el primer lugar; con el primer lugar decidido, hay 7 opciones para escoger al segundo; con esos decididos, hay 6 opciones para escoger el tercer lugar. La respuesta correcta es 8 • 7 • 6, o 336.

                                ANALISIS COMBINATORIO.

 

TEOREMA FUNDAMENTAL:

Si un suceso puede tener lugar de m maneras distintas y cuando ocurre una de ellas se puede realizar otro suceso inmediatamente de n formas diferentes, ambos sucesos, sucesivamente, pueden ocurrir de m·n  maneras distintas.

Por ejemplo: si hay 3 candidatos para la presidencia y 5 para vicepresidencia, existen 3·5=15 parejas distintas de presidente y vicepresidente.

NOTACION FACTORIAL:

Las identidades siguientes muestran el significado de factorial n escrito n!

5!= 1·2·3·4·5 = 120

6!= 1·2·3·4·5·6 = 720

n!= 1·2·3·4...n

0!=1 por definición.

 

I    VARIACIONES.

Una variación es un arreglo ordenado de n objetos diferentes, tomados de r  a la vez se denota por medio de:

       

 

Ejemplo: Una persona desea hacer una apuesta y selecciona los tres primeros lugares  al finalizar la carrera. Si en ella participan 8 caballo, ¿ Qué posibilidades existen para los tres primeros caballos ‘?  (Suponiendo que no haya empate).

                      

 

 

II   PERMUTACIONES.

La permutación es un arreglo ordenado de un conjunto de elementos. Pongamos el caso de tres números: { 1,2,3 }. Una permutación de ellos es 123, otra es 321,he aquí todas las ordenaciones que pueden formarse con ellos:123, 132, 213, 231, 312, 321.

El número de permutaciones de n elementos diferentes tomados n a la vez, se denota  mediante.

         

        =  n!

 

 

 

 

 

PERMUTACIONES CON REPETICION DE n ELEMENTOS

 

El número de permutaciones de n elementos repitiéndose uno de ellos n1   veces, otro, n2   veces, etc...  Viene dado por:

 

    

 

Por ejemplo, el número de maneras en que se puede distribuir 3 monedas de 25 pesos y 7 monedas de 5, entre 10 niños de forma que a cada uno de ellos le corresponda 1 sola moneda.

.

            maneras

 

PERMUTACIONES CÍCLICAS.

 

El número de maneras en que se pueden colocar n elementos diferentes a lo largo de una circunferencia, es igual a ( n – 1 )!.

= (n –1)!

Por ejemplo, 10 personas se pueden sentar alrededor de una mesa redonda de ¿Cuántas maneras?

          

  = ( 10 –1)! = 9! = 362880 maneras.

Permutaciones sin repetición.

   Denominamos permutaciones ordinarias o sin repetición de n elementos, a cada uno de los distintos grupos que pueden formarse de manera que:

- En cada grupo entran todos los n elementos.

- Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos.

   Al número de permutaciones ordinarias de n elementos lo representaremos por P_n y se calculará:

P_n=n.(n-1).(n-2)...3.2.1

a este  número  lo llamaremos factorial de n y lo representaremos por n! , esto es:

                                              n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1

Si n = 1, se define 1!=1

Si n = 0  se define 0!=1

   Si te fijas bien, se pueden relacionar las permutaciones ordinarias con las variaciones ordinarias de n elementos tomados de n en n.

    Vn,n = Pn

EJEMPLOS RESUELTOS ( Para aclararnos):

- ¿ De cuántas formas pueden sentarse 8 amigos en una fila de butacas de un cine?	Sol: P8 = 403209 formas diferentes de sentarse
- ¿ De cuántas formas diferentes se pueden fotografiar 5 amigos frontalmente en línea recta?	Sol: P5 = 120 fotografías distintas
- Un técnico de sonido tiene que unir 6 terminales en 6 conexiones. Si lo hiciera al azar, ¿ de cuántas formas diferentes podría completar las conexiones?	Sol: P6 = 720 conexiones diferentes

9. Vuelve al apartado de las variaciones sin repetición. a) Calcula algunos ejemplos. b) Coloca " ejemplo " en "1" y realiza la formación de las permutaciones de orden 4. ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE TRABAJO. .

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Permutaciones con repetición.

   Denominamos permutaciones con repetición de n elementos en los que uno de ellos se repite "a" veces, otro "b" veces y así hasta el último que se repite k veces ( a+b+c+....k = n); a todas las ordenaciones posibles de estos n elementos. Consideramos dos ordenaciones distintas si difieren en el orden de colocación de algún elemento ( distinguible ).

   Notaremos a este tipo de permutación como:

y se calcularán:

EJEMPLOS RESUELTOS ( Para aclararnos):

- ¿ De cuántas formas pueden ordenarse en una estantería 5 libros de lomo blanco, 3 de lomo azul y 6 de lomo rojo?	Sol: 168168 formas ordenaciones distintas
- ¿ Cuántas palabras de 6 letras con o sin sentido se pueden formas con las letras de AMASAS ?	Sol:  60 palabras
- En una carrera por equipos participan 4 españoles, 5 franceses y 3 marroquíes. Si lo único reseñable de cada corredor es su nacionalidad, ¿ de cuántas formas posibles podrían terminar la carrera?	Sol: 27720 formas de acabar la carrera

Combinaciones.

   Denominamos combinaciones ordinarias o sin repetición de n elementos tomados de m en m,  (m<=n) a las distintas agrupaciones de m elementos de manera que:

- En cada grupo entren m elementos distintos

- Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento.

El número de combinaciones ordinarias de m elementos tomados de m en m lo notaremos C_n,my se calcula:

Se puede observar fácilmente que:

EJEMPLOS RESUELTOS ( Para aclararnos):

- Una persona está interesada en contar todos los posibles resultados en el juego de la LOTERÍA PRIMITIVA. ¿ Podrías ayudarle?	Sol: C49,6 = 13983816 boletos  diferentes (difícil acertar ¿no?)
- Siete amigos hacen cola para el cine. Al llegar sólo quedan 4 entradas. ¿ De cuántas formas podrían repartirse estas entradas para ver la película ?	Sol: C7,4 = 35 formas distintas  de reparto
- En una clase de 30 alumnos se quiere elegir un grupo de 5 alumnos para participar en un concurso. ¿ De cuántas formas podría hacerse ?	Sol: C30,5 = 142506 posibles grupos

   En la siguiente escena; puedes observar la fórmula general para el cálculo de combinaciones, así como una calculadora con la que te aconsejo que practiques algunos casos particulares. Si sitúas el control  "ejemplo " en la posición "1"; aparece un problema clásico de combinaciones. Se trata de trazar todos los segmentos posibles que unan " n " puntos no alineados. Para asegurar esto último y sin que ello suponga ninguna pérdida de generalidad para el problema, he colocado los puntos como si fuesen los vértices de un polígono regular.

	13. Coloca el control  "ejemplo " en la posición "1". Por defecto aparecen 5 puntos que vas a unir por segmentos. Pon el control  "traza segmentos" en "1" y cuenta los segmentos. Si vas aumentando "traza..." y contando los segmentos; al agotar el procedimiento y sumar tus resultados, verás que la cifra total coincidirá con el número combinatorio C(5,2).
	14.. Aumenta el control "n" al número que desees y repite la experiencia.     ( La escena tiene una limitación de 15)   ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE TRABAJO.
	15.. Intenta deducir una fórmula general que nos permita calcular el número de diagonales de cualquier polígono regular. ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE TRABAJO.
Volver a Auto-evaluación

  

 Primeras propiedades algebraicas de los números combinatorios:

a) Muy fácil de demostrar. Déjate llevar por la definición y ten en cuenta que 0!=1

b) Muy fácil. Aplica la definición

c) Fácil, fácil,...

d) Muy fácil. Aplica la definición e intercambia de lugar el denominador. ¿ verdad que sí?

e) Difícil. Como dijo Fermat, La demostración no cabe en este espacio. Te invito a que lo intentes en tu cuaderno

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Binomio de Newton.

Una de las aplicaciones algebraicas más interesantes de los números combinatorios. Permite el desarrollo de cualquier potencia de un binomio identificando los coeficientes de las respectivas potencias..
Como aplicación de las fórmulas anteriores observa los siguientes ejemplos prácticos.

Ejemplos:

¿Cuántas palabras diferentes de tres letras pueden formarse con las letras de la palabra CIMA, sin que se repita ninguna letra? Una vez calculado el número, escríbelas todas ordenadamente.

Calcula cuántas palabras diferentes de cuatro letras distintas pueden formarse con las letras de la palabra MUSA. Después escríbelas ordenadamente.

¿Cuántos subconjuntos distintos de tres elementos pueden formarse con un conjunto de 8 elementos?

Ejemplos

¿Cuántos números de 5 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,5?

          P₅ =5! = 5.4.3.2.1 = 120

¿ Cuantos números  de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 0,1,2,3?

P₄ – P₃ = 4! -3!= 24-6 = 18

Hemos restado P₃ para descontar los números que empiezan por cero, ya que estos no son de cuatro cifras.

¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar si en ellos siempre hay 1 uno, 2 doses y 3 treses ¿

P₆^1,2,3 =

Ejemplos

¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1,2,3,….,9?

     

Con las letras del alfabeto español(25 letras)  ¿Cuántas palabras (con o sin sentido) de 6 letras distintas pueden formarse?- ¿Cuántas empiezan por vocal?

       V , 5V

Ejemplos

Como respuesta a un anuncio  de trabajo se presentan 12 personas para cubrir tres plazas de administrativo ¿ Cuantas grupos diferentes  de personas se pueden seleccionar?

Debemos elegir grupos de 3 de entre los 12 , no influye el orden

C

¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 8 puntos en el plano si tres  de ellos nunca  están alineados?

Para que dos triángulos sean distintos se tienen que diferenciar al menos en un vértice y el orden en que tomamos los vértices no influye

C

¿Cuántos conjuntos de tres letras existen elegidas entre a, b, c, d, e, f, g si en cada         conjunto puede haber más de una letra igual?

Tenemos en cuenta que el conjunto  y que los elementos se pueden repetir, es decir  es un conjunto de tres letras, luego

CR